Eigenwerte |
| 03.12.2019, 12:52 | Matrickser | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenwerte Beweisen Sie folgende Aussagen oder widerlegen Sie sie mit einem einfachen Gegenbeispiel. Die Matrizen A und B sind jeweils R^(n,n). (a) Sei [lambda] ein Eigenwert von A und [my] ein Eigenwert von B, dann sei auch [lambda]+[my] ein Eigenwert von A+B. (b) Wenn [lamda] ein Eigenwert von A ist, dann ist auch [lambda+1] ein Eigenwert der Summe aus A und der Einheitsmatrix I. (c) Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer n Eigenwerte, wobei mehrfache Eigenwerte mehrfach gezählt werden. (d) Für eine Matrix A mit n Eigenwerte ist die Summe der Eigenwerte gleich der Summe der Hauptdiagonalelemente. Meine Ideen: (a) kann man mMn relativ schnell widerlegen, indem man mit Diagonalmatrizen und Einheitsmatrix im R^2 argumentiert: wenn A=diag(1,0) und B=diag(0,1) ist, dann ist [lambda1]=[my2]=1 und [lambda2]=[my1]=0 ; als Summe ergeben sich also 0 und 2, und das entspricht nicht den Eigenwerten der Einheitsmatrix mit jeweils 1. (b) (c) und jetzt verließen sie ihn 
laut Lösung sollte da: gelten. Die Lösung an sich ist mir plausibel, aber wie kommt man auf diese Gleichung 
Konkret: Wo kommt das indexlose Lambda her und warum ist es 0?(d) hierfür habe ich weder Lösung noch Idee
Danke für eure Hilfe! |
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| 03.12.2019, 14:57 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu c) Das charakteristische Polynom sollte Dir bekannt sein, wenn ihr Euch mit Eigenwerten beschäftigt. Zu d) Erscheint es Dir glaubwürdig? Wenn nein würde ich nach einem Gegenbeispiel suchen. Wenn ja, würde ich nach einem Zusammenhang suchen, vielleicht erst einmal bei kleineren Matrizen. |
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