Komplexe Rechnung

03.12.2019, 18:01

Mathman91

Komplexe Rechnung

Hallo Leute,

aktuell muss ich mich wieder mit der komplexen Rechnung beschäftigen.

Gundsätzlich habe ich keine Probleme beim anwenden der komplexen Rechnung.
Ich verwende Sie in der Elektrotechnik und komme ganz gut damit klar.

Nun habe ich aber ein paar Beispiele zum rechnen, bei denen ich überhaupt nicht weiß wie ich hier ansetzen muss. Sowas habe ich noch nie gerechnet.

Hier das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (1+\sqrt{3}*i)^{5} \end{eqnarray*}$

Da ich hier ja eine Wurzel und noch eine Potenz habe, weiß ich nicht wie ich das angehen muss.

Bitte euch um Hilfe.

VG

03.12.2019, 18:14

Elvis

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Das ist sehr einfach, denn es gelten wie in jedem Körper die gewöhnlichen Regeln der Grundrechenarten.
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} (a+bc)^2=a^2+2abc+b^2c^2,x^4=(x^2)^2, x^5=x^4\cdot x \end{eqnarray*}$
Wenn du nichts besseres zu tun hast, darfst du auch gleich die 5. Potenz als binomische Formel ansetzen.

03.12.2019, 20:33

klarsoweit

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Ich würde vorher die Basis in die Exponentialform umformen. Dann ist das eine simple Angelegenheit.

04.12.2019, 07:26

Mathman91

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O.K.

Dann müsste es so gehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}=1,732 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{1^{2}+1,732^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} phi=arctan(\frac{1,732}{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi=1,047° \end{eqnarray*}$

Nun rechne ich mit:

$\begin{eqnarray*} Re=z^{n}*cos(n*phi)=2^{5}*cos(5*1,047°) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Re=z^{n}*sin(n*phi)=2^{5}*sin(5*1,047°) \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} Z=16-j*27,7 \end{eqnarray*}$

Stimmt mein Rechenweg?

PS: Bei "Z" müsste noch ein unterstrich gemacht werden, habe aber keine Ahnung wie das im Formeleditor geht.

SG

04.12.2019, 09:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}=1,732 \end{eqnarray*}$

Die Wurzel(3) in eine Dezimalzahl umzuschreiben, gehört eher zu den schlechten Ideen. Egal, wie viel Nachkommastellen du hinschreibst, es bleibt falsch.

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{1^{2}+1,732^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=2 \end{eqnarray*}$

So wäre es korrekt: $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{1^2 + (\sqrt 3)^2} = 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} phi=arctan(\frac{1,732}{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi=1,047° \end{eqnarray*}$

Hier gibst du Gradmaß an, obwohl du eigentlich mit Bogenmaß gerechnet hast. unglücklich

Es geht aber auch ohne Taschenrechner (in meiner Generation wurde das noch gelernt):
Wenn wir die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} 1 + \sqrt 3 i \end{eqnarray*}$ durch ihren Betrag dividieren, landen wir bei der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z^* = \frac 1 2 + \frac 1 2 \sqrt 3 i \end{eqnarray*}$ , die sich nun (ohne Veränderung des Winkels phi) auf dem Einheitskreis befindet. Wir brauchen also nun einen Winkel phi mit $\begin{eqnarray*} sin(\varphi) = \frac 1 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ bzw. mit $\begin{eqnarray*} cos(\varphi) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ . Dies ist bekanntlich $\begin{eqnarray*} \varphi = 60° = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Somit haben wir $\begin{eqnarray*} z = 2e^{\frac{\pi}{3}i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^5 = 32e^{\frac{5\pi}{3}i} \end{eqnarray*}$
Das kannst du jetzt wieder in die kartesische Form umwandeln. smile

04.12.2019, 09:37

Elvis

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Wer Winkelfunktionen, den komplexen Betrag und komplexe Konjugation nicht kennt, darf auch Grundrechenarten benutzen. Das erspart das Umrechnen und das Denken, man hat also zwei Vorteile auf einmal. Erst ab höheren Potenzen entwickelt die Polardarstellung ihr Potenzial.

04.12.2019, 15:39

Mathman91

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Wie kann es dann sein, das ich aufs richtige Ergebnis komme?

Mein TR ist auf DEG eingestellt und nicht auf RAD?

SG

04.12.2019, 16:02

klarsoweit

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Wie dein Taschenrechner eingestellt ist, weiß ich nicht. Vermutlich ist es Bogenmaß. Aber am Ende ist das Maß egal, der Winkel bleibt derselbe.
Allerdings wäre für mich $\begin{eqnarray*} 16 - 16 \sqrt 3 i \end{eqnarray*}$ die bessere Wahl. smile

04.12.2019, 16:33

HAL 9000

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Bei diesem ganz speziellen $\begin{eqnarray*} z=1+\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$ wäre auch der Elvis-Weg in der Aufteilungsvariante $\begin{eqnarray*} z^5=z^3\cdot z^2 \end{eqnarray*}$ überlegenswert:

$\begin{eqnarray*} z^2 = 1-3+2\sqrt{3}i = -2+2\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^3 = z^2\cdot z = -2-6+(2-2)\sqrt{3}i = -8 \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} z^5 = -8\left(-2+2\sqrt{3}i\right) = 16-16\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$ . Ob das mehr oder weniger Aufwand ist als mit der Exponentialform, darüber ließe sich trefflich streiten. smile

04.12.2019, 16:57

Mathman91

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O.K. habe es auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ geändert.
Grad habe ich auch entfernt.

Stimmt sonst mein Rechenweg?

SG

04.12.2019, 17:43

Elvis

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$\begin{eqnarray*} z^3=-8 \end{eqnarray*}$ gefällt mir, das hatte ich trotz Rechnung übersehen. So hatte ich 3 schriftliche Multiplikationen und HAL 9000 nur deren 2.
Mit $\begin{eqnarray*} z^3=(1+\sqrt 3 i)^3=1+3\sqrt 3i+3\cdot 3\cdot (-1)-i\cdot3\sqrt 3=-8 \end{eqnarray*}$ braucht man nur 2 mal den Satz von Binomi.
$\begin{eqnarray*} z^5=(1+\sqrt 3i)^5 \end{eqnarray*}$ kann ich im Kopf nicht berechnen.

05.12.2019, 08:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
O.K. habe es auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ geändert.
Grad habe ich auch entfernt.

Stimmt sonst mein Rechenweg?

Nun ja, wenn du dieses meinst:

Zitat:

Original von Mathman91
Nun rechne ich mit:

$\begin{eqnarray*} Re=z^{n}*cos(n*phi)=2^{5}*cos(5*1,047°) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Re=z^{n}*sin(n*phi)=2^{5}*sin(5*1,047°) \end{eqnarray*}$

dann ist in der 2. Zeile eher der Imaginärteil gemeint. Außerdem solltest du - wie schon hingewiesen - statt 1,047 den (exakten) Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ verwenden.

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