Doppelte Zweierpotenz bei den Fermatzahlen

04.12.2019, 07:13

Ulrich Ruhnau

Doppelte Zweierpotenz bei den Fermatzahlen

In dem relativ neuen Buch mit dem Titel elementare und algebraische Zahlentheorie bin ich mit dem Beweis von Lemma 1.4 auf Seite 3 nicht einverstanden. Da steht:

Zitat:

Lemma 1.4 Eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} b^m+1>2 \end{eqnarray*}$ ist höchstens dann prim, wenn $\begin{eqnarray*} m=2^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gerade sind.

Beweis: $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ muß gerade sein, damit $\begin{eqnarray*} b^m+1 \end{eqnarray*}$ ungerade ist. Ist m keine Zweierpotenz, so ist $\begin{eqnarray*} m=pq \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\ge 3 \end{eqnarray*}$ ungerade. $\begin{eqnarray*} \dotso\square \end{eqnarray*}$

Der letzte zitierte Satz (Ist m keine Zweierpotenz, so ist $\begin{eqnarray*} m=pq \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\ge 3 \end{eqnarray*}$ ungerade.) wundert mich. Denn wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ keine Zweierpotenz ist, dann könnte m auch prim sein im Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} m=pq \end{eqnarray*}$ . Gibt es dafür eine gute Erklärung, oder sollte man den Autor auf einen Fehler hinweisen?

04.12.2019, 08:43

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RE: doppelte Zweierpotenz bei den Fermatzahlen
q=1 ist zugelassen.

04.12.2019, 10:21

Ulrich Ruhnau

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RE: doppelte Zweierpotenz bei den Fermatzahlen
Danke, also doch kein Fehler!
Aber eines verstehe ich trotz dem nicht. Soll $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ungerade sein, und vor allen Dingen warum?

04.12.2019, 12:10

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RE: doppelte Zweierpotenz bei den Fermatzahlen
Wenn m keine Zweierpotenz ist, dann hat m einen ungeraden Primfaktor p. Dann sieht man mit $\begin{eqnarray*} b^m+1=(b^q)^p-(-1)^p=(b^q+1)(\ldots) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} b^m+1 \end{eqnarray*}$ nicht prim ist.

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