Ringisomorphismus

04.12.2019, 22:31	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus Meine Frage: Servus, ich klebe bei dieser Aufgabe gewissermaßen am Stuhl fest: Es soll ein Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi :\ \mathbb R[X]/(X^4-1) \to \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb C \end{eqnarray}$ konstruiert werden. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} G/N:=\{gN:g\in G\} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mathbb R[X]/(X^4-1)=\{p(X)\cdot (X^4-1):p(X)\in \mathbb R[X]\} \end{eqnarray}$ Ich dachte erst, es hat etwas mit Nullstellen zu tun wegen $\begin{eqnarray} \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb C \end{eqnarray}$ . Denn schließlich haben alle Elemente $\begin{eqnarray} p(X)\cdot (X^4-1) \end{eqnarray}$ mindestens die Nullstellen von $\begin{eqnarray} (X^4-1) \end{eqnarray}$ (außer wenn $\begin{eqnarray} p(X)=0 \end{eqnarray}$ ). Aber die Funktion hat ja noch eine weitere komplexe Nullstelle.
05.12.2019, 00:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringisomorphismus Ein Ring ist im allgemeinen nur bzgl. der Addition eine Gruppe. Also musst du die Faktorgruppe bzgl. Addition bilden.Die Restklasse von $\begin{eqnarray} p\in \mathbb{R}[X] \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \{p(X)+q(X)(X^4-1):q\in\mathbb{R}[X]\} \end{eqnarray}$ . Man kann sich leicht überlegen, dass die Restklassen gerade den Resten entsprechen, die bei Polynomdivision durch $\begin{eqnarray} X^4-1 \end{eqnarray}$ auftreten können. Den Homomorphismus sehe ich gerade nicht.
05.12.2019, 07:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringisomorphismus @Url Geschickte Funktionsauswertung
05.12.2019, 22:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringisomorphismus @IfindU: Gibts einen Grund, warum man $\begin{eqnarray} \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb C \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray}$ nimmt? Wenn ja, habe ich die Aufgabe wohl noch nicht verstanden
06.12.2019, 07:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^4-1=(x^2 - 1)(x^2 +1)=(x-1)(x+1)(x^2 +1) \end{eqnarray}$ ist ein guter Grund ... aber ich sehe auch noch nicht, wie es dann weiter geht ... Nachtrag: $\begin{eqnarray} f_1(x)\equiv f_2(x)\,mod\,(x^4-1)\Rightarrow \exists g(x):\, f_1(x)=f_2(x)+g(x)(x^4-1)=(\frac {f_2(x)}{x^4-1}+g(x))(x^4-1) \end{eqnarray}$ ... und dann Partialbruchzerlegung ?
06.12.2019, 13:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte an Interpolation und deswegen $\begin{eqnarray} \mathbb R\times \mathbb R\times \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray}$ . Aber wenn man da hemdsämlig irgendwelche Werte einsetzt, bekommt man Probleme beim Produkt zweier Polynome, weil man schließlich den Rest bei Polynomdivision braucht. Deswegen muss man die Nullstellen von $\begin{eqnarray} x^4-1 \end{eqnarray}$ einsetzen - eben geschickt einsetzen wie IfindU schrieb. Jedenfalls glaube ich gerade, dass das so funktioniert
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »