Dart Variante I

05.12.2019, 15:13

Dopap

Dart Variante I

Eine strategisch eher langweilige Variante des Dart-Spiels:

Als Modifikation wird nun anfänglich das bulls eye so groß wie das board selbst.
Solange ein Spieler das aktuelle bulls eye trifft darf er erneut werfen und stoppt falls nicht.
Nach einem Treffer wird das bulls eye verkleinert und zwar wie folgt:
Die Sekante, die den Trefferpunkt P zum Mittelpunkt hat, wird zum neuen Durchmesser des bulls eye.
Um eine hohe Wurfanzahl W zu erzielen, empfiehlt es sich logischerweise, die Trefferpunkte möglichst nahe zum Mittelpunkt zu setzen.

--------------- mathematisch -------------------

Der Anfangszielkreis hat den Radius $\begin{eqnarray*} R_0=1 \end{eqnarray*}$ und ist Inkreis eines Quadrates welches unverändert bleibt.
Der erste Trefferpunkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ hat den Abstand $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ zum Mittelpunkt mit $\begin{eqnarray*} r_1\leq R_0 \end{eqnarray*}$ . Der neue Radius des Zielkreises ist dann $\begin{eqnarray*} R_1=\sqrt{R_0^2-r_1^2} \end{eqnarray*}$ .
Und im 2. Wurf $\begin{eqnarray*} R_2 =\sqrt{R_1^2-r_2^2} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} r_2\leq R_1 \end{eqnarray*}$ gilt. Oder

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{}R_2=\sqrt{1-r_1^2-r_2^2}\\R_3=\sqrt{1-r_1^2-r_2^2-r_3^2}\\\quad \cdots\end{array} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \boxed{\bullet} \end{eqnarray*}$ Eine Zufallgröße, produziert den Punkt P zufällig und gleichverteilt auf dem unveränderlichen Quadrat mit Fläche A=4.
Woraus sich die Trefferwahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{}p_1=\frac{\pi }{4}\\p_2=\frac{\pi (1-r_1^2) }{4}\\\quad \cdots \end{array} \end{eqnarray*}$ ergeben, sofern wegen $\begin{eqnarray*} r_i>R_{i-1} \end{eqnarray*}$ nicht schon abgebrochen wurde.

$\begin{eqnarray*} \boxed{ \text{Gesucht ist der Erwartungswert für die Wurfzahl W}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E(W)=1\cdot p_1+ 2\cdot p_2 + 3\cdot p_3+\cdots \end{eqnarray*}$ aber wie weiter?

der Einsatz von $\begin{eqnarray*} P(W=n)=P(W>n-1)-P(W>n) \end{eqnarray*}$ scheint eine Möglichkeit zu sein.

$\begin{eqnarray*} E(W)=1\cdot (P(W>0)-P(W>1))+2\cdot (P(W>1)-P(W>2 ))+3\cdot (P(W>2)-P(W>3 ))+ \cdots \, = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}P(W>k)=1+\frac {\pi}{4} +\cdots \end{eqnarray*}$

hier haben sich viele Terme günstig herausgehoben.

Nur ist die Frage, ob man damit was anfangen kann?
Ich bekomme das nicht unter einen Hut.
Eine mögliche Idee wäre noch die Einbeziehung der Koordinaten $\begin{eqnarray*} P_i(x_i,y_i) \end{eqnarray*}$
Irgendwas mit Pi und e könnte wieder mal zum Zuge kommen?

------------------------ Monte Carlo ------------------------

lässt bei meinem trägen TR einen Wert von um oder leicht über der 2 für $\begin{eqnarray*} E(W) \end{eqnarray*}$ vermuten.

05.12.2019, 16:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
Die Sekante, die den Trefferpunkt P zum Mittelpunkt hat, wird zum neuen Durchmesser des bulls eye.

Eine Sekante ist eine Gerade (!), die den Kreis schneidet. Wie kann eine Gerade (= unendlich lang) ein Durchmesser ( = endliche Strecke) sein? Meinst du womöglich Sehne ? verwirrt

------------------------------------------------------------------------

Hast dir ein kompliziertes Problem herausgesucht - vor allem deswegen, weil die Folgekreise i.a. nicht mehr vollständig im Ausgangsquadrat $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ liegen, d.h., sie enthalten Teilflächen, die der Werfende garantiert nicht erwischen kann. Das verkompliziert die Situation beträchtlich (irgendwie sehe ich auch gerade nicht, dass du das in deinen Rechnungen oben berücksichtigst, oder?). Kann natürlich sein, dass du dann doch die Regeln änderst: Das $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Wurfquadrat wird auch mit verschoben, und zwar so, dass dessen Mittelpunkt mit dem neuen Kreismittelpunkt übereinstimmt. Das widerspräche allerdings klar und deutlich dem hier:

Zitat:

Original von Dopap
Eine Zufallgröße, produziert den Punkt P zufällig und gleichverteilt auf dem unveränderlichen Quadrat (!) mit Fläche A=4.

05.12.2019, 20:42

Dopap

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es ist eine Gratwanderung zwischen zu viel Text und Redundanz.
Poste doch kurz in 2 -3 Zeilen was unklar ist und erspare dir somit unnötig lange Beiträge.

Korrektur:

Die Sehne wandert ( um $\begin{eqnarray*} -\vec r_i) \end{eqnarray*}$ bis ihr Mittelpunkt wieder im Ursprung liegt. ------> Die schrumpfenden Zielkreise ( bulls eyes ) sind konzentrisch.
Sehnenlänge ... wäre besser gewesen

edit: schon mal Darts gespielt? das bulls eye liegt immer im Zentrum Augenzwinkern

[attach]50146[/attach]

05.12.2019, 22:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
schon mal Darts gespielt? das bulls eye liegt immer im Zentrum Augenzwinkern

Du solltest mittlerweile wissen, dass ich von dieser Art schnoddriger Ausreden nichts halte - es geht rein nach der Beschreibung. Und die hast du jetzt korrigiert, gut. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Dopap
lässt bei meinem trägen TR einen Wert von um oder leicht über der 2 für $\begin{eqnarray*} E(W) \end{eqnarray*}$ vermuten.

In der nunmehr vereinfachten, und damit analytisch beherrschbaren Variante ist

$\begin{eqnarray*} E(W) = \sum_{k=0}^{\infty} P(W>k) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left(\frac{\pi}{4}\right)^k = \exp\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx 2.19328 \end{eqnarray*}$ ,

du merkst sicher an den Termen, dass du mit deinem Ansatz oben auf einem guten Weg bist.

09.12.2019, 02:40

Dopap

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ich habe das edit gar nicht mitbekommen und stelle meine bisherigen Überlegungen trotzdem hier ein:

Zitat:

weitere Überlegung:
die Betrachtung mit den Kooordinaten zeigt ja $\begin{eqnarray*} P(W>0)= \sqrt{1-x_1^2-y_1^2} \end{eqnarray*}$ wenn für

die Treffkooordinaten $\begin{eqnarray*} x_i,y_i\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ gleichverteilt sind.
mit dem Ergebnis $\begin{eqnarray*} p(W>0)=\pi/4 \end{eqnarray*}$ als Verhältnis von Kreisfläche zum 2- Quadrat in

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$
im nächsten Schritt gilt nun analog:
$\begin{eqnarray*} P(W>1)=\sqrt{1-(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)} \end{eqnarray*}$ mit der Idee die Quadratsumme als

Quadrat eines Kugelradiuses in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ zu betrachten!
Wiederum das Verhältnis von Einheitssphäre zum Umkubus, als 2-Kubus bezeichnet.

für eine Sphäre in 4D gilt $\begin{eqnarray*} Vol=\frac{\pi^2}{2}R^4 \end{eqnarray*}$ , für einen Kubus $\begin{eqnarray*} a^4 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} P(W>1) \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \frac {\pi^2}{2\cdot 2^4}\qquad R=1, a=2 \end{eqnarray*}$

bisher also $\begin{eqnarray*} E(W)=1+\frac \pi 4 +\frac {\pi^2}{32 }+ \cdots \end{eqnarray*}$

die logische Fortsetzung in 2n Dimensionen wäre dann $\begin{eqnarray*} P(W>n)=\frac{Vol_{ ESphäre}} {Vol_{ 2-Kubus}} \end{eqnarray*}$

mit der Formel aus dem Internet $\begin{eqnarray*} Vol_{ \text{ESphäre}}=\frac{ \pi^n}{ n!} \end{eqnarray*}$ in 2n Dimensionen lässt sich evtl. was anfangen.

Summe und Pi hoch n und n Fakultät zeigten schon in die richtige Richtung.

09.12.2019, 10:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
die logische Fortsetzung in 2n Dimensionen wäre dann $\begin{eqnarray*} P(W>n)=\frac{Vol_{ ESphäre}} {Vol_{ 2-Kubus}} \end{eqnarray*}$

Hmm, nach meiner Erkenntnis geht es in der Essenz weniger um das Volumen einer Sphäre, als vielmehr um das von einem k-dimensionalen Simplex der Kantenlänge $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} R_k \end{eqnarray*}$ der (neue) Scheibenradius nach dem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Wurf, d.h. genau wie bei dir. Bezeichnet man zudem mit $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ das Quadrat des Abstands des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Wurfs vom Scheibenmittelpunkt, dann hat man zumindest für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ gemäß geometrischer Wahrsscheinlichkeit die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_{X_k}(t) = P(X_k\leq t) = P\left(\sqrt{X_k}\leq \sqrt{t}\right) = \frac{\pi\left(\sqrt{t}\right)^2}{2^2} = \frac{\pi}{4}t \end{eqnarray*}$ .

Definieren wir nun $\begin{eqnarray*} Y_k = 1-\sum_{n=1}^k X_k \end{eqnarray*}$ , dann besteht im Fall $\begin{eqnarray*} Y_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} R_k^2 = Y_k \end{eqnarray*}$ , insofern ist $\begin{eqnarray*} P(W>k) = P(Y_k\geq 0) = P\left(\sum_{n=1}^k X_n\leq 1\right) \end{eqnarray*}$ , soweit warst du denke ich mal auch schon in etwa. Widmen wir uns daher der (Faltungs-)Berechnung von $\begin{eqnarray*} G_k(t) := P\left(\sum_{n=1}^k X_n\leq t\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} G_k(t) = \int\limits_0^t P\left(\sum_{n=1}^k X_n\leq t \mid X_k=t-s\right)\cdot f_{X_k}(t-s) ~ \dd t = \int\limits_0^t G_{k-1}(s)\cdot \frac{\pi}{4} ~ \dd t\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Mit Start $\begin{eqnarray*} G_1(t)=\frac{\pi}{4}t \end{eqnarray*}$ kann man über Induktion unter Nutzung von (*) dann leicht $\begin{eqnarray*} G_k(t) = \frac{1}{k!}\left(\frac{\pi}{4}t\right)^k \end{eqnarray*}$ nachweisen, und damit auch $\begin{eqnarray*} P(W>k) = G_k(1) = \frac{1}{k!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

09.12.2019, 10:56

Dopap

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die Logik ergibt sich mMn aus der Fortsetzung von R^2 über R^4 nach R^6 mit

$\begin{eqnarray*} R_1^2 < 1-(\underbrace{ x_1^2+y_1^2}_{\text{Radiusquadrat einer 2-D Sphäre}})<br /> <br /> R_2^2 < 1-(\underbrace{ x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}_{\text{Radiusquadrat einer 4-D Sphäre}})<br /> <br /> R_3^2 < 1-(\underbrace{ x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2+x_3^2+y_3^2}_{\text{Radiusquadrat einer 6-D Sphäre}}) \end{eqnarray*}$

usw. Immerhin führt das zum selben Ergebnis.

09.12.2019, 11:18

HAL 9000

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Ja, gut möglich. Ich war sofort auf die Gleichverteilung des Abstandes fixiert, dass mir ein Zurückgehen zu den Einzelkoordinaten unnötig vorkam.

09.12.2019, 20:21

Dopap

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Fein. Das Schöne an Mathe ist doch die Freiheit der Gedanken. smile

Leider gehören dazu auch jede Irrtümer.

p.s. k-dimensionaler Simplex mit Pi/4 lag "zufällig" außerhalb meines Horizontes Augenzwinkern

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