Exponentialfunktion-Funktionen zu einem Graph zuordnen, Funktionsgleichung bestimmen

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Black Kong Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion-Funktionen zu einem Graph zuordnen, Funktionsgleichung bestimmen
Meine Frage:
Hallo,
Und zwar wollte ich nachfragen,ob meine Lösungen zur Exponentialfunktion richtig sind.
Aufgabe 1 ) Den Graphen die zugehörigen Funktionen zuordnen
Aufgabe 2 ) Die Funktionsgleichungen aus zwei gegeben Punkten bestimmen.
a) P (0/4) Q (1/5)
b) P (0/2) Q (2/0.5)
c) P (1/18)Q (4/31,104)
d) P (2/16)Q (4/0,4096)
Aufgabe 3 ) Weshalb die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch zwei Punkte eindeutig bestimmt werden kann.

Meine Ideen:
Aufgabe 1 ) https://imgur.com/a/JMwTbdg--> Lösungen+Aufgabe
Aufgabe 2 )
f(x)a= 4*1.25^x
f(x)b= 2*0.5^x
f(x)c=15*1.2^x
f(x)d=625*0,16^x

Aufgabe 3 ) Mein Ansatz wäre die Tangentengleichung ich weiß aber nicht ob das so stimmt und kann es mir nicht so recht erklären.








Bild zu Aufgabe 1 eingebunden, da externer Link erlöschen kann.
klauss
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion-Funktionen zu einem Graph zuordnen, Funktionsgleichung bestimmen
Nach meiner Übersicht ist Aufgabe 1 richtig gelöst.
Bei Aufgabe 2 gehören auch alle Punkte zu den jeweiligen Funktionsgleichungen.
 
 
Black Kong Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Ist dies die Antwort für die Nr.3 weil die Punkte zu der jeweiligen Funktionsgleichung gehören ?

Mit freundlichen Grüßen
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte ja lapidar sagen: Wenn man eine Funktion aufstellen will, hat man 2 Unbekannte zu bestimmen. Dafür braucht man 2 Gleichungen, die durch 2 Punkte geliefert werden.

Die Erklärung befriedigt mich aber nicht, da m. E. daraus noch nicht die Eindeutigkeit der Funktionsgleichung folgt.
Deswegen nehme ich das etwa genauer unter die Lupe und versuche den Beweis der Eindeutigkeit durch Widerspruch.
Seien
und
zwei Exponentialfunktionen, die die dieselben 2 gewählten Punkte enthalten.
Dann gilt:




, ,
Folge:







Das kann sein, wenn , was von vornherein ausgeschlossen ist, da wir zwei verschiedene Punkte gegeben haben.
Dann kann es nur sein, wenn .
Damit läßt sich auch folgern, dass , was der Annahme widerspricht, dass es zwei verschiedene Exponentialfunktionen sind.

Ich hoffe, das kann man so gelten lassen.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@klaus:
Die Komma-Schreibweise verwischt leider die dahinter stehende mathematische Operation.
Konkret muss es in dem Beweis heißen

Daraus ergibt sich aber auch, dass man eben nicht zwei beliebige Punkte nehmen kann, sondern nur solche, die eine Chance auf eine Funktion bieten: Punkte mit verschiedenen x-Werten.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Ja, das ist natürlich präzis. Dafür, dass ich es grad mal so für den Schulbereich aus dem Ärmel geschüttelt habe, bin ich trotzdem ganz zufrieden.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klauss
Das kann sein, wenn , was von vornherein ausgeschlossen ist, da wir zwei verschiedene Punkte gegeben haben.

Dem widerspreche ich auch wie Helferlein. Die Punkte mit können verschieden sein, genau dann wenn .
Hier geht es aber um die Aufgabe 3 ) Weshalb die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion durch zwei Punkte eindeutig bestimmt werden kann.

Eine Exponentialfunktion nach der Formel durch die Punkte und für ist genau dann bestimmbar, wenn und. Hier sind meiner Meinung nach nur noch die Bestimmungsformeln für undanzugeben. Eine Tangentengleichung wäre übrigens Unfug und löst die Aufgabe 3 nicht.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Dem widerspreche ich auch wie Helferlein. Die Punkte mit können verschieden sein, genau dann wenn .

Vielleicht steh ich ja auf dem Schlauch, aber der "Beweis" zu Aufgabe 3 geht doch davon aus, dass dieselben 2 Punkte auf beiden Exponentialfunktionen liegen.
Den Fall , habe ich selbstverständlich stillschweigend ausgeschlossen, da er, wie Helferlein richtig bemerkt hat, keine Chance auf eine Funktion bietet.
Den Fall , habe ich ebenfalls stillschweigend ausgeschlossen, da es kein Beweis zur Injektivität der Exponentialfunktion werden sollte.
Ich habe, eingedenk der Aufgaben von Black Kong, schlicht die Wahl zweier "vernünftiger" Punkte stillschweigend vorausgesetzt.
Sollte mein Stillschweigen sträflich gewesen sein: "Also ich bitte um Verständnis. Wenn ich das gemacht haben sollte, dann bitte ich um Verzeihung für diesen Fehler."

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Hier geht es aber um die Aufgabe 3 )

Eben.

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Eine Exponentialfunktion nach der Formel

hier meinst Du wohl
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich meinte tatsächlich . Aber wurde hier tatsächlich ein Beweis verlangt? Es wurde nur nach einer Erklärung gefragt. Diese Erklärung richtet sich auf die eindeutige Bestimmung von a und b.
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