Algebraische Zahlentheorie - diophantische Gleichung

05.12.2019, 20:27	Lubo	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Zahlentheorie - diophantische Gleichung Meine Frage: Ich soll zeigen, dass x^3 = y^2 + 5 keine ganzzahligen Lösungen besitzt. Als Hinweis ist gegeben, dass wir die Klassenzahl von Z(sqrt(-5)) berechnen sollen und die Einheitengruppe. Anschließend sollen wir zeigen, dass a + sqrt(-5) keine dritte Potenz in diesem Ring ist (a ganze Zahl). Meine Ideen: Die Klassenzahl lässt sich in diesem Fall leicht berechnen und ist 2, die Einheiten in diesem Ring sind 1 und -1, wäre a + sqrt(-5) eine dritte Potenz, so würde es ganze Zahlen b und c geben sodass c(3b^2 - 5c^2) =1, dies ist nicht möglich. Es ist y^2 +5 = (y +sqrt(-5)) (y - sqrt(-5)). und durch Multiplikation mit -1 = (-1)^3 sieht man dass auch der zweite Faktor keine dritte Potenz ist. Allerdings reicht dies nicht aus um zu sehen dass y^2 + 5 keine dritte Potenz ist (3 und 9 sind keine dritten Potenzen, aber 27). Da der Ring in dem wir rechnen ein Dedekindring ist haben wir eine eindeutige Primidealzerlegung. Ich vermute, dass ich jeweils das von den Elementen erzeugte Ideal betrachten kann und dort Primideale vorkommen die kein Hauptideal sind und daran irgendwas kaputt geht. Hat jemand eine Idee wie man dies konkret ausführen könnte?
08.12.2019, 11:27	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3 = x^2 + 5 \end{eqnarray}$ liefert eine Gleichung von Idealen, $\begin{eqnarray} (x)^3 = (x+\sqrt{-5})(x-\sqrt{-5}) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass die zwei Ideale $\begin{eqnarray} (x+\sqrt{-5}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x-\sqrt{-5}) \end{eqnarray}$ teilerfremd sind. Es folgt dann, dass sie jeweils dritte Potenzen von Idealen $\begin{eqnarray} \mathfrak{a}, \mathfrak{b} \subseteq \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray}$ sind. Geht man über zur Klassengruppe, deren Ordnung du ja bereits richtig mit $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bestimmt hast, so folgt, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathfrak{b} \end{eqnarray}$ Hauptideale sind, etwa $\begin{eqnarray} \mathfrak{a}=(\alpha) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x+\sqrt{-5})=\mathfrak{a}^3 = (\alpha)^3 = (\alpha^3) \end{eqnarray}$ , also gilt als Ringelemente $\begin{eqnarray} x+\sqrt{-5}=\alpha^3 \end{eqnarray}$ bis auf Einheiten, Widerspruch.

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