Zeigen, dass nicht gleichmäßig stetig

Neue Frage »

07.12.2019, 00:13	JulieMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass nicht gleichmäßig stetig Meine Frage: Die Aufgabe lautet so: Sei f eine Funktion mit $\begin{eqnarray} f: [0, \infty) \to \mathbb R, x \to x\sqrt{x} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass f nicht gleichmäßig stetig ist. Ich weiß, wie der Beweis theoretisch zu führen ist, mir fällt die praktische Umsetzung schwer. Ich komme nicht darauf, wie $\begin{eqnarray} x,y \in [0, \infty) \end{eqnarray}$ am besten zu wählen sind. Habe es mit $\begin{eqnarray} y = x + \frac{\delta}{2} \end{eqnarray}$ probiert, aber wie ist bloß x zu bestimmen? Meine Ideen: Vielleicht sollte ich nicht $\begin{eqnarray} \varepsilon = 1 \end{eqnarray}$ nehmen, vielleicht muss ich Epsilon anders wählen. Es gibt hier so viele Möglichkeiten, und ich habe mit Aufgaben dieser Art noch überhaupt keine Erfahrung. Könnt ihr mir bitte helfen?
07.12.2019, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir folgender Hinweis, ein Gegenbeispiel zu finden: Sei $\begin{eqnarray} L>0 \end{eqnarray}$ . Dann IST $\begin{eqnarray} g:\,[0,L]\to\mathbb{R},x\mapsto x\sqrt{x} \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig!
07.12.2019, 11:18	JulieMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erst einmal! Ok, d.h. ich muss $\begin{eqnarray} L \leq \end{eqnarray}$ wählen... also insgesamt habe ich dann L, x und y zu bestimmen?
07.12.2019, 14:00	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du denkst zu kompliziert. Die Definition der gleichmäßigen Stettgkeit fängt an mit: Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ ... Also wähle mal ein solches $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ , z. B $\begin{eqnarray} \epsilon =1 \end{eqnarray}$ . Zu diesem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ soll es nun ein $\begin{eqnarray} \delta > 0 \end{eqnarray}$ geben mit bestimmten Eigenschaften. Dieses $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ musst du für einen Widerspruchsbeweis nicht bestimmen. Du musst nur annehmen, dass es existiert. Mit diesem angeblich existierenden $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ soll etwas für alle $\begin{eqnarray} x, x_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ gelten. Dann müsste es auch für $\begin{eqnarray} x=x_0+\frac \delta 2 \end{eqnarray}$ gelten. Wenn das deine anfängliche Idee war, ist die völlig in Ordnung. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass es mindestens ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gibt, bei dem $\begin{eqnarray} \|f/x)-f(x_0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ nicht erfüllt ist. Um das zu zeigen, kann man $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ mit der Bernoullischen Ungleichung für reelle Exponenten abschätzen.
07.12.2019, 17:20	JulieMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!!! Aber ich verstehe nicht ganz, wie man hier die Bernoulli-Ungleichung zur Anwendung bringt... Wir haben hier doch überhaupt keine Exponenten, oder meinst du, ich soll $\begin{eqnarray} f(x) = x \sqrt{x} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ schteiben? Ich weiß nicht, wie man auf $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ kommen soll, ich probiere es die ganze Zeit mit der "trial-and-error"-Methode...
07.12.2019, 17:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man benötigt nicht notwendig Bernoulli, es genügt auch folgende grobere Abschätzung: Für $\begin{eqnarray} x_0>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f\left(x_0+\frac{\delta}{2}\right) - f\left(x_0\right) = x_0^{\frac{3}{2}}\left( \left(1+\frac{\delta}{2x_0}\right)^{\frac{3}{2}} - 1\right) \geq x_0^{\frac{3}{2}}\left( \left(1+\frac{\delta}{2x_0}\right) - 1\right) = \sqrt{x_0} \cdot \frac{\delta}{2} \end{eqnarray}$ . Jetzt wähle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ so, dass die rechte Seite mindestens gleich $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ist...
Anzeige

07.12.2019, 18:04	JulieMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank euch beiden, also darauf wäre ich so schnell nicht gekommen, echt coole Idee, werde ich mir merken!!! Man wählt also z.B. $\begin{eqnarray} x_{0} = \frac{4}{\delta^{2}} \end{eqnarray}$ !
07.12.2019, 18:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid (das Programm kannst du hier herunterladen). Du kannst am Schieberegler für $\begin{align} \delta \end{align}$ ziehen und dann den $\begin{align} \delta \end{align}$ -Streifen durch Ziehen an $\begin{align} u \end{align}$ verschieben. Beobachte, wie sich der zugehörige $\begin{align} \tau \end{align}$ -Streifen vergrößert, je weiter nach rechts du den $\begin{align} \delta \end{align}$ -Streifen ziehst. Gibst du dir zum Beispiel $\begin{align} \varepsilon = 1 \end{align}$ vor, so wird, egal, wie klein du $\begin{align} \delta \end{align}$ wählst, der $\begin{align} \tau \end{align}$ -Streifen irgendwann einmal die Breite 1 überschreiten, wenn du nur den $\begin{align} \delta \end{align}$ -Streifen weit genug nach rechts schiebst.
07.12.2019, 18:43	JulieMathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Super cool, danke, Leo!!!!

Neue Frage »

Antworten »

Zeigen, dass nicht gleichmäßig stetig

Verwandte Themen