Ungerades Polynom, Zerlegung Beweisen

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Piet321 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungerades Polynom, Zerlegung Beweisen
Meine Frage:
Hallo liebes Matheboard!

Ich habe eine Aufgabe die wie folgt aussieht:

"Man kann eigentlich jedes Polynom der Form
p(x) = x^2n+1 + a^2n+1 mit n aus den natürlichen Zahlen und a > 0
als ein Produkt einer linearen Funktion und eines Polynoms n-ten Grades (wobei hier nicht gemeint ist, dass wenn z.B. n = 1, der Grad des Polynoms in der Zerlegung gleich 1 sein soll, sondern es steht eher für einen allgemeinen Grad. Das folgt aus dem Beispiel, welches ich hier weggelassen habe) schreiben. Finden und beweisen Sie diese allgemeine Zerlegung."


Meine Ideen:
Mein Ansatz war der, dass man einfach die Linearfaktorzerlegung dazu verwendet, weil genau das ist doch eben die Abspaltung oder? Sprich man beweist das die Linearfaktorzerlegung funktioniert, und dann an einem Polynom 2n+1-ten Grades durchführt. Ich hätte es so strukturiert:

Sei p(x) ein Polynom 2m+1-ten Grades. Durch die Lineafaktorzerlegung mit einer reellen Nullstelle von p(x) erhät man dann eben:

(x-Nullstelle)g(x)

Dann ist g(x) ein Polynom vom Grad 2m = n. Dann müsste man es ja auch noch mit komplexen Polynomen eventuell durch Polynomfaktorisierung zeigen oder? Oder sind alle meine Ansätze hier total falsch? Ich bin ein wenig verloren und würde mich über jeden Denkanstoß freuen :/

Mfg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird bei der Aufgabe leider nicht klar, um welche Polynome es sich handelt. Im allgemeinen ist die Aussage falsch. Für komplexe Polynome ist sie richtig, und du hast ja auch schon gesagt, warum das so ist. Reelles Polynom: Linearfaktor abspalten. Komplexes Polynom: Linearfaktor abspalten. Nach dem Fundamentalsatz geht das immer.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungerades Polynom, Zerlegung Beweisen
Zitat:
Original von Piet321
p(x) = x^2n+1 + a^2n+1 mit n aus den natürlichen Zahlen und a > 0


Wieso wird hier nicht 1+1=2 zusammengefaßt? Das legt doch den Verdacht nahe, daß da wieder einmal Klammern fehlen und in Wahrheit x^(2n+1) + a^(2n+1) gemeint ist:



Dann besitzt aber dieses Polynom eine offensichtliche Nullstelle.
Piet321 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungerades Polynom, Zerlegung Beweisen
Ja, tut mir leid! Mein Fehler mit der Klammer. Die Darstellung von dir ist richtig. Ich wollte es eigentlich mit Latex machen, aber immer wenn ich es versuche ist alles was ich zwischen die Latex Klammern in meiner preview schreibe unsichtbar :/
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