Überabzählbarkeit

08.12.2019, 03:20	Marley100	Auf diesen Beitrag antworten »
Überabzählbarkeit Meine Frage: Hallo an alle! Also man soll zeigen,dass die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ überabzählbar ist. Normalerweise hätte ich das einfach mit Cantor und seinem Beweis dafür, dass es keine surjektiv Abbildung einer Menge in ihre Potenzmenge gibt, gemacht, aber hier ist noch angegeben, dass man die 2-adische Darstellung reeller Zahlen verwenden soll. Meine Ideen: Ich weiß, was die 2-adische Darstellung ist, aber wie mache ich sie für meinen Beweis nutzbar? Könnt ihr mir bitte helfen?
08.12.2019, 08:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Cantors Diagonalargument für die Überabzaehlbarkeit der reellen Zahlen mit Dualzahlen statt Dezimalzahlen. Dualzahlen sind gleichzeitig die charakteristischen Funktionen der Teilmengen natürlicher Zahlen.
08.12.2019, 08:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Elvis hat zwar schon geantwortet. Da ich meinen etwas ausführlicheren Beitrag aber schon verfaßt habe, schicke ich ihn gleich ab. Jeder Teilmenge $\begin{align} X \end{align}$ von $\begin{align} \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\ldots \right\} \end{align}$ kann eine reelle Zahl des Intervalls $\begin{align} [0,1] \end{align}$ zugeordnet werden. Es sei $\begin{align} \chi_X \end{align}$ die Indikatorfunktion von $\begin{align} X \end{align}$ , also $\begin{align} \chi_X(k) = 1 \end{align}$ , falls $\begin{align} k \in X \end{align}$ , und $\begin{align} \chi_X(k) = 0 \end{align}$ , falls $\begin{align} k \not \in X \end{align}$ . Dann definiere man auf der Potenzmenge von $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ die Abbildung $\begin{align} \varphi \end{align}$ durch $\begin{align} \varphi: \, X \mapsto \sum_{k=1}^{\infty} \chi_X(k) \cdot 2^{-k} \end{align}$ Offenbar ist $\begin{align} \varphi \left( \emptyset \right) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} \varphi \left( \mathbb{N} \right) = 1 \end{align}$ . Für die Menge $\begin{align} G \end{align}$ der geraden Zahlen zum Beispiel ist $\begin{align} \varphi(G) = {0{,}01010101 \ldots}_2 = \frac{1}{3} \end{align}$ . Die Surjektivität von $\begin{align} \varphi \end{align}$ ist unmittelbar einsichtig, $\begin{align} \varphi \end{align}$ ist jedoch nicht injektiv. Zum Beispiel ist $\begin{align} \varphi \left( \{ 1 \} \right) = {0{,}1}_2 = \frac{1}{2} \end{align}$ , aber auch $\begin{align} \varphi \left( \left\{ 2,3,4,\ldots \right\} \right) = {0{,}011111 \ldots}_2 = \frac{1}{2} \end{align}$ .
08.12.2019, 21:30	Marley100	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden, habe es nun verstanden!!!!

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