Erwartungswert von X^2 bei einer geometrischen Verteilung

08.12.2019, 13:34	WiwiUndStochastikOje	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert von X^2 bei einer geometrischen Verteilung [attach]50164[/attach] Mein Ansatz: [attach]50165[/attach] Hilfe
08.12.2019, 15:40	WiwiUndStochastikOje	Auf diesen Beitrag antworten »
Hal, wo bist du?
08.12.2019, 19:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Wochenende... Das diskrete Analogon zu dem hier ist $\begin{eqnarray} E(g(X)) = \sum_x g(x)P(X=x) \end{eqnarray}$ , wobei über alle (d.h. höchstens abzählbar vielen) Werte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ summiert wird, die $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ annehmen kann. Das hast du ja soweit erstmal richtig, und das ist für a),b) so anwendbar. Der Rest dreht sich um die Frage, wie man die anstehenden Summen (mehr oder weniger) geschickt vereinfacht: Dazu nutzt man die für $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ konvergente geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ und deren Ableitungen nach $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{\dd}{\dd q} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)q^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{(1-q)^3} = \frac{\dd}{\dd q} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)q^k = \sum_{k=1}^{\infty} (k+1)kq^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)q^k \end{eqnarray}$ Damit folgt z.B. $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)^2 p(1-p)^k = p\left[ \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) (1-p)^k - \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) (1-p)^k\right] = p\left[ \frac{2}{p^3} - \frac{1}{p^2}\right] = \frac{2-p}{p^2} \end{eqnarray}$ Bei b) vereinfacht mal die Fakultäten: $\begin{eqnarray} E(X^2) = \sum_{k=1}^{\infty} k^2\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k-1)+k}{k!} \lambda^ke^{-\lambda} = \left[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-2)!} \lambda^k + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!} \lambda^k \right] e^{-\lambda} = \ldots \end{eqnarray}$
09.12.2019, 05:44	WiwiUndStochastikOje	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den Summen habe ich 2/3 vereinfacht bekommen. Allerdings hänge ich an dieser Summe: [attach]50175[/attach] Sorry, falls du dazu drüber was geschrieben hast und ich es nicht blicke
09.12.2019, 07:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du über eine Linearkombination der beiden genannten Summen $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)q^k = \frac{1}{(1-q)^2} \end{eqnarray}$ bewältigen. Wozu du das allerdings brauchst, erschließt sich mir nicht, denn $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)^2 p(1-p)^k = \frac{2-p}{p^2} \end{eqnarray}$ war doch bereits der Term, der an deine Überlegungen (erster Scan, dritte Zeile) anschließt.

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