Inwiefern hilft mir hier die Stetigkeit?

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Finite intelligence Auf diesen Beitrag antworten »
Inwiefern hilft mir hier die Stetigkeit?
Meine Frage:
Ich habe folgende zwei Fälle, bei denen mir die Stetigkeit helfen sollte, ich aber nie verstehe wie.
1. Es gilt:

Denn:

Zusätzlich dazu steht in meiner Quelle:
"Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass Funktionen g und f natürlich stetig sein müssen, da sonst keine Ableitung nicht existieren würde".
Inwiefern hat mir die Stetigkeit hier geholfen. Ideen: siehe Ideen
2.
Es seien u = g(x) differenzierbar in x und y = f(u) differenzierbar in u = g(x), dass sich mit g(x + \Delta x) = u + \Delta u (Stetigkeit!) schreiben:

Nutzt man noch einmal die Stetigkeit von u = g(x) aus (\Delta x \to 0 \Rightarrow \Delta u \to 0) so bleibt:

Hier wurde die Stetigkeit zweimal ausgenutzt, aber inwiefern? Ideen: siehe Ideen.
MfG,
Finite intelligence

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, dass es hier um die Rechenregeln für Zahlenfolgen geht, die nur anwendbar sind, wenn die Folge einen eindeutigen Grenzwert hat, was ja die Definition der Stetigkeit ist.
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RE: Inwiefern hilft mir hier die Stetigkeit?
Wie würdest du denn begründen, dass der Grenzwert existiert?
 
 
Finite intelligence Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inwiefern hilft mir hier die Stetigkeit?
Du hast durchaus einen Punkt getroffen. Die Stetigkeit ist der Grund, warum dieser Grenzwert existiert.
Jedenfalls brauche ich noch Hilfe bei meinem zweiten Fall.
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RE: Inwiefern hilft mir hier die Stetigkeit?
Ich sehe da nur die einmalige Anwendung der Stetigkeit.
Man definiert . Das kann man immer tun, egal ob g stetig ist oder nicht. Das setzt man ein und erweitert
.
Bisher ist nichts passiert, außer dass man sich noch Gedanken über im Nenner machen muss.
Jetzt allerdings braucht man die Stetigkeit von g, um aus auf zu schließen.
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