Polynom in mehreren Unbestimmten

08.12.2019, 22:52	Pfaffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in mehreren Unbestimmten Meine Frage: Hi! Ich komme mit dieser Aufgabe nur teilweise klar: [attach]50172[/attach] Meine Ideen: Den ersten Teil habe ich geschafft: $\begin{eqnarray} X_1^3 + X_2^3 + X_3^3 + X_4^3 = \sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3 \end{eqnarray}$ Aber bis auf dass diese Summe $\begin{eqnarray} \lambda_1^3 + \lambda_2^3 + \lambda_3^3 + \lambda_4^3 \end{eqnarray}$ sich rein äußerlich mit $\begin{eqnarray} X_1^3 + X_2^3 + X_3^3 + X_4^3 \end{eqnarray}$ deckt, habe ich keine Ahnung, was ich im zweiten Teil der Aufgabe machen soll...
09.12.2019, 15:42	Pfaffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in mehreren Unbestimmten Könnte da etwas mit Diskriminante gehen?
09.12.2019, 16:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne mich bisher groß mit dem Thema "elementarsymmetrische Polynome" befasst zu haben, so sehe ich doch mit einem Blick in deren Definition sofort den Zusammenhang zu den Termen in der Satzgruppe von Vieta. Und genau dieser Zusammenhang dürfte im zweiten Teil der Aufgabe helfen.
09.12.2019, 16:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in mehreren Unbestimmten Ein Schuss ins Blaue: $\begin{eqnarray} \lambda_1,\ldots ,\lambda _4 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3 \end{eqnarray}$ einsetzen Koeffizientenvergleich in $\begin{eqnarray} x^4+2x^3-4x^2+x+3=\Pi(X-\lambda_i) \end{eqnarray}$ durchführen und hoffen, dass man damit genau die Kombinationen der $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ bekommt, die man für die Berechnung mit den elementarsymmetrischen Polynomen braucht. Edit: und wieder wech
09.12.2019, 21:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie URL bereits bemerkt hat: Koeffizientenvergleich durchführen. $\begin{align} X^4 + 2X^3 - 4X^2 + X + 3 = X^4 - \sigma_1 X^3 + \sigma_2 X^2 - \sigma_3 X + \sigma_4 \end{align}$ Die $\begin{align} \sigma_k \end{align}$ sind ja gerade die elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen des Polynoms: $\begin{align} \sigma_1 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 \, , \ \ldots \, , \ \sigma_4 = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 \end{align}$ Und wie man $\begin{align} {\lambda_1}^3 + \ldots + {\lambda_4}^3 \end{align}$ durch die elementarsymmetrischen Funktionen ausdrückt, hast du ja bereits herausgefunden.
09.12.2019, 22:27	Pfaffikus	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke euch vielmals!
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