Diffeomorphismus zwischen komplexem P^1 und der Sphäre S^2

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09.12.2019, 11:35

MaPalui

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Diffeomorphismus zwischen komplexem P^1 und der Sphäre S^2

Hallo und schönen Wochenstart smile

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe:

Zitat:

Man gebe einen Diffeomorphismus zwischen der kompakten komplexen Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} \mathbb P^1 \end{eqnarray*}$ und der zweidimensionalen Spähre $\begin{eqnarray*} \mathbb S^2 \end{eqnarray*}$ an.

Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray*} \mathbb P^1 \end{eqnarray*}$ den projektiven Raum.
Gut, ich suche also eine Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb P^1\rightarrow \mathbb S^2 \end{eqnarray*}$ , die bijektiv und überall stetig differenzierbar ist. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ überall stetig differenzierbar.

Immer wenn es darum geht, irgendeine Abbildung zu finden, die bestimmte Axiome erfüllt, tue ich mir schwer.

Die Sphäre kann ich mir doch vorstellen als die Oberfläche der Einheitskugel. Das würde für mich dafür sprechen, dass ich doch hier mit Winkeln arbeiten könnte. Die Sphäre selbst kann ich parametrisieren.
Da wir aber ja im Komplexen sind, wird es doch schon wieder schwierig, mit Winkeln zu argumentieren verwirrt

Wie gehe ich denn sinnvollerweise mal diese Aufgabe an?
Bin um jeden Tipp dankbar smile

LG
Maren

09.12.2019, 13:45

Elvis

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Wenn man die Riemannsche Zahlenkugel nicht kennt, dann ist das nicht so einfach. https://de.wikipedia.org/wiki/Projektiver_Raum

09.12.2019, 21:28

MaPalui

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Hi Elvis,

ich danke dir vielmals für deinen Hinweis. Tatsächlich haben wir die Riemann'sche Zahlenkugel in der Vorlesung bereits vorher angesprochen, in dem Kapitel über komplexe Mannigfaltigkeiten bisher allerdings nicht. Daher dachte ich nicht daran und danke dir für den Hinweis.

Mein Problem ist, dass ich mich einer solchen Aufgabe immer und immer wieder ganz langsam nähern muss.

Ich fasse also nun auf: $\begin{eqnarray*} \mathbb S^2 = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb R^3 : x^2+y^2+z^2=1\right\} \end{eqnarray*}$ . Das ist mir auch vollkommen klar und anschaulich.
Nun kann ich doch ebenfalls den $\begin{eqnarray*} \mathbb P^1 \end{eqnarray*}$ auffassen als $\begin{eqnarray*} (\mathbb C^2 \setminus\left\{0\right\}) / \end{eqnarray*}$ ~(Wie bekomme ich die Tilde denn vernünftig hin?).
Wobei gilt: x~y $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists \lambda\in\mathbb C^* : x=\lambda y \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich auch.

Was ich nicht verstehe ist, warum der Wertebereich der stereographische Projektion f als $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gewählt ist. Ich möchte doch in den $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Edit:
Ich glaube dass ist nicht das Problem. Wenn ich die Abbildung f finde, dann kann ich diese ja komplex einbetten bzw. eine komplexe Koordinate "dazufügen".
Was mich mehr stört ist dass der Nordpol herausgenommen wird. Ich verstehe was die stereographische Projektion macht. Aber dadurch das der Nordpol doch nicht mehr im Definitionsbereich ist, verliere ich doch einen Punkt, den ich aber gerne hätte, oder? Und selbst wenn ich hinterher die Zuordnung $\begin{eqnarray*} f(N) = \infty \end{eqnarray*}$ vornehme, erhalte ich doch keinen Diffeomorphismus mehr?

LG
Maren

09.12.2019, 22:39

Elvis

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Die projektive Gerade entsteht aus einer Ebene, aber sie hat die Dimension 1. Vielleicht kann dir (bzw. uns) das jemand besser erklären als ich.

09.12.2019, 23:03

MaPalui

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Ich denke nicht, dass es an deinen Ausführungen liegt smile

Es liegt eher an meinem Unvermögen, dass zu verstehen und das frustriert mich oft sehr. Ich will es ja verstehen aber ich habe einfach dazu kein Talent Big Laugh

Egal.

LG
Maren

10.12.2019, 07:19

Elvis

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Mach dir nichts draus, ich verstehe es auch noch nicht. Vielleicht erklärt es uns noch jemand.
Den projektiven Raum P1 über K verstehe ich noch aus der linearen Algebra. Das ist der Raum der eindimensionalen UVRe des K2.
Reell ist das der Raum der Geraden durch den Nullpunkt der Ebene, und weil jede Gerade genau einen Winkel mit der x-Achse einschließt, können wir die Geraden mit dem Einheitskreis schneiden. So haben wir eine geeignete Bijektion von P1 auf S1.
Komplex "geht das genau so", sagt sich leicht. Ist es bestimmt auch, "bestimmt" sagt man immer, wenn man es nicht so ganz genau weiß.

10.12.2019, 08:41

KeinGastMehr

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Zitat:

Original von MaPalui
Was mich mehr stört ist dass der Nordpol herausgenommen wird. Ich verstehe was die stereographische Projektion macht. Aber dadurch das der Nordpol doch nicht mehr im Definitionsbereich ist, verliere ich doch einen Punkt, den ich aber gerne hätte, oder? Und selbst wenn ich hinterher die Zuordnung $\begin{eqnarray*} f(N) = \infty \end{eqnarray*}$ vornehme, erhalte ich doch keinen Diffeomorphismus mehr?

LG
Maren

Den Nordpol auf $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ zu schicken, ist die richtige Idee. Dann bekommt man eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb S^2 \to \mathbb P^1 = (\mathbb C^2 \setminus \{0\})/\sim \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} z \mapsto \begin{cases} [g(z),1] & \text{falls } z \neq N \\ [1,0] & \text{falls } z = N\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ den Nordpol und $\begin{eqnarray*} g \colon \mathbb S^2 \setminus \{N\} \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ die stereographische Projektion.

Jetzt muss man sich an zwei Sachen erinnern:

1) Wie ist eine differenzierbare Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definiert?
2) Was ist die Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb P^1 \end{eqnarray*}$ ?

PS: Eine Tilde in Latex macht man mit \sim.

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