Minimum unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsvariablen

09.12.2019, 19:09

--aA--

Minimum unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsvariablen

Gegeben sind unabhängige $\begin{eqnarray*} X_1, \dots, X_n \text{~} Geom(p) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} p \in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Wir sollen zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} Y := \min\limits_{j} X_j \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} Y \text{~} Geom(1-(1-p)^n) \end{eqnarray*}$ .

Es müsste also $\begin{eqnarray*} P(Y=0) = 1-(1-p)^n \end{eqnarray*}$ gelten, ich erhalte aber $\begin{eqnarray*} P(Y=0) = P(X_1 = 0, \dots, X_n = 0) = \prod\limits_{j=1}^n P(X_j = 0) = p^n \end{eqnarray*}$ .

Wo liegt mein Fehler?

09.12.2019, 20:22

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von --aA--
Wo liegt mein Fehler?

Bei $\begin{eqnarray*} P(Y=0) \stackrel{?}{=} P(X_1 = 0, \dots, X_n = 0) \end{eqnarray*}$ liegt der Fehler!

Es ist mitnichten notwendig, dass alle $\begin{eqnarray*} X_j=0 \end{eqnarray*}$ sind, damit deren Minimum (!) gleich 0 ist, es genügt dafür ein einziges $\begin{eqnarray*} X_j=0 \end{eqnarray*}$ .

Anscheinend verwechselst du das mit $\begin{eqnarray*} P\left( \max\limits_j X_j = 0\right) = P\left(X_1 = 0, \dots, X_n = 0\right) \end{eqnarray*}$ , das ist richtig.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Für die Geometrische Verteilung Variante B (die scheinst du ja betrachten zu wollen, da du über Wert 0 redest, der bei Variante A gar nicht auftritt) gilt $\begin{eqnarray*} P(X_j\geq k) = (1-p)^k \end{eqnarray*}$ . Damit bekommen wir

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq k) = P\left( \min\limits_{j=1,\ldots,n} X_j\geq k\right) = P\left( X_1\geq k,X_2\geq k,\ldots,X_n\geq k\right) = P\left( X_1\geq k\right)\cdot P\left(X_2\geq k\right)\cdot\ldots\cdot P\left(X_n\geq k\right) = \left( (1-p)^k \right)^n = (1-p)^{kn} \end{eqnarray*}$

Nun gilt genauso umgekehrt, dass aus $\begin{eqnarray*} P(Y\geq k) = (1-q)^k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ geschlossen werden darf, dass $\begin{eqnarray*} Y\sim\operatorname{Geom}(q) \end{eqnarray*}$ . Lösen wir $\begin{eqnarray*} (1-p)^{kn} = (1-q)^k \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ auf, so gelangen wir via $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ter Wurzel $\begin{eqnarray*} (1-p)^n = 1-q \end{eqnarray*}$ tatsächlich zu $\begin{eqnarray*} q=1-(1-p)^n \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Minimum unabhängiger geometrisch verteilter Zufallsvariablen

Verwandte Themen