Ableitbarkeit in alle Richtungen

10.12.2019, 15:17

KoenigVonAugsburg

Ableitbarkeit in alle Richtungen

Hallo,

ich habe paar Fragen zu der folgenden Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l}{\text { Sei } f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { definiert durch }} \\ {\qquad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {\text { falls } x=y^{2} \text { und } x \neq 0} \\ {0,} & {\text { sonst. }}\end{array}\right.} \\ {\text { (a) Zeige: In }(0,0) \text { ist } f \text { unstetig. }} \\ {\text { (b) Zeige: Alle Richtungsableitungen } D_{v} f(0,0) \text { für } v \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \text { existieren. }} \\\end{array} \end{eqnarray*}$

Für die a) dachte ich mir:
Es gibt zwei Nullfolgen, mit: $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Dann gilt für den Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_n \rightarrow 0}(x_n) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y_n \rightarrow 0}(y_n^2) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}f(\frac{1}{n^2}, \frac{1}{n}) = 1, \text { aber } f(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$ , somit ist f unstetig in (0,0). Kann man das so ungefähr aufschreiben?

Bei der b) habe ich auch eine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} h \not = 0 \end{eqnarray*}$
Die Einheitsvektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ . Es gilt:
$\begin{eqnarray*} D_vf(0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f((0,0) + (hv_1, hv_2)) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(hv_1, hv_2) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(hv_1, hv_2)}{h} \end{eqnarray*}$
Laut Funktionsdefinition gilt für $\begin{eqnarray*} v = (v_1,v_2) = (0,1) \text { und } v = (v_1,v_2) = (0,-1) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0, hv_2)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} v = (v_1,v_2) = (1,0) \text { und } v = (v_1,v_2) = (-1,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(hv_1, hv_2)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} hv_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} hv_2 \end{eqnarray*}$ von einander verschieden sind.

Jetzt soll ich aber zeigen dass ALLE Richtungsableitungen existieren, also auch solche:
$\begin{eqnarray*} v=(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ so, dass v1 und v2 beide von Null verschieden sind.
Wenn ich die oberen Fälle ausschließe, dann wären v1 und v2 von einander verschieden.
Und die Ableitung existiert nur dann, wenn mein Differenzenquotient im Zählen eine 0 hat, denn eine 1 im Zähler würde Unendlichkeit bedeuten. Und eine Null bekomme ich laut Definition nur, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 \not = v_2^2 \end{eqnarray*}$ und das lässt sich sicherlich für die meisten (v1,v2) durchsetzen, aber es lässt sich doch bestimmt eine Kombination von v1 und v2 finden, so dass v_1 = v_2^2. Wo ist der Fehler in meiner Überlegung.

Danke für die Hilfe

KvA

10.12.2019, 17:55

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen
$\begin{eqnarray*} \nu_1 = \nu_2^2 \end{eqnarray*}$ geht schon, und es ist dann im allgemeinen $\begin{eqnarray*} h\nu_1 = h\nu_2^2\neq h^2\nu_2^2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(h\nu_1,h\nu_2)=0 \end{eqnarray*}$ . Der Punkt ist, dass h gegen Null geht, also veränderlich ist. Deswegen steht im Zähler des Differenzenquotienten fast immer Null

10.12.2019, 20:57

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen

Zitat:

ausgebessertes Original von KoenigVonAugsburg

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(hv_1, hv_2)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} hv_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} hv_2 \end{eqnarray*}$ von einander verschieden sind.

... , aber es lässt sich doch bestimmt eine Kombination von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2^2 \end{eqnarray*}$ . Wo ist der Fehler in meiner Überlegung?

Nun, ein Problem bestünde, wenn $\begin{eqnarray*} h v_1=(h v_2)^2 \end{eqnarray*}$ , aber hier haben wir $\begin{eqnarray*} h v_1=h v_2^2 \end{eqnarray*}$ vorliegen und das ist unproblematisch.

10.12.2019, 21:28

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen
Der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} (\nu_1,\nu_2) \end{eqnarray*}$ ist gegeben. Dann kann die Beziehung $\begin{eqnarray*} h\nu_1=(h\nu_2)^2 \end{eqnarray*}$ nur für genau ein $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

10.12.2019, 23:13

KoenigVonAugsburg

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen

Zitat:

Original von URL
Der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} (\nu_1,\nu_2) \end{eqnarray*}$ ist gegeben. Dann kann die Beziehung $\begin{eqnarray*} h\nu_1=(h\nu_2)^2 \end{eqnarray*}$ nur für genau ein $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Verstehe ich das richtig. Es ist egal welches v1 und v2 ich habe, denn da h gegen 0 konvergiert existiert ein $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h_1 \cdot v_1 = (h_1 \cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ , aber für alle h, sodass $\begin{eqnarray*} 0<h<h_1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} h \cdot v_1 \not = (h\cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(hv_1,hv_2)}{h}) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{0}{h}) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle v1,v2

Und v = (0,0) geht aus dem Grund nicht weil das kein Richtungsvektor ist, richtig?

Danke für die Antworten.

11.12.2019, 06:02

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen

Zitat:

Original von KoenigVonAugsburg
Verstehe ich das richtig. Es ist egal welches v1 und v2 ich habe, denn da h gegen 0 konvergiert existiert ein $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h_1 \cdot v_1 = (h_1 \cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ , aber für alle h, sodass $\begin{eqnarray*} 0<h<h_1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} h \cdot v_1 \not = (h\cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ .
Daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{f(hv_1,hv_2)}{h}) = \lim_{h \rightarrow 0}(\frac{0}{h}) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle v1,v2

Und v = (0,0) geht aus dem Grund nicht weil das kein Richtungsvektor ist, richtig?

Danke für die Antworten.

Meine Verbesserung:
Für alle $\begin{eqnarray*} v_1>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2\ne 0 \end{eqnarray*}$ die ich habe, existiert ein $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h_1 \cdot v_1 = (h_1 \cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ , aber für alle h für die gilt $\begin{eqnarray*} 0<h<h_1 \end{eqnarray*}$ gilt außerdem $\begin{eqnarray*} h \cdot v_1 \not = (h\cdot v_2)^2 \end{eqnarray*}$ .

Letzteres wäre wegen $\begin{eqnarray*} h v_1=x, h v_2=y, x=y^2 \end{eqnarray*}$ eine Bedingung für $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$ gewesen. Da diese Bedingung bei der Limesbildung nicht erfüllt werden wird, ist $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ . Ursprünglich hast Du Dich für den Fall $\begin{eqnarray*} v_1=v_2^2 \end{eqnarray*}$ interessiert. Aber mit $\begin{eqnarray*} x=h v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=h v_2 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} 0<h<1 \end{eqnarray*}$ nunmehr $\begin{eqnarray*} x\ne y^2 \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} f=0 \end{eqnarray*}$ .

11.12.2019, 19:47

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitbarkeit in alle Richtungen

Zitat:

So ein $\begin{eqnarray*} h_1\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es im Fall $\begin{eqnarray*} \nu_2=0 \end{eqnarray*}$ nicht. Da war meine Ausführung wohl missverständlich geschockt

Richtig ist folgendes: Wegen $\begin{eqnarray*} h\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h\nu_1=(h\nu_2)^2 \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \nu_1=h\nu_2^2 \end{eqnarray*}$ und diese Gleichung ist für höchstens ein $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ erfüllt. Für alle anderen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist dann also $\begin{eqnarray*} f(h\nu_1,h\nu_2)=0 \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Ableitbarkeit in alle Richtungen

Verwandte Themen