Welche Abbildungen sind injektiv, surjektiv?

10.12.2019, 18:38

BaneAI

Welche Abbildungen sind injektiv, surjektiv?

Meine Frage:
Hallo,

hier habe ich eine Aufgabe, die ich zwar graphisch lösen kann und das Ergebnis dementsprechend also kenne, aber den korrekten Beweis kann ich nicht führen, bzw dieser erschließt sich mir nicht. Hier die Aufgabe:

Welche folgenden Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
Geben sie bei den bijektiven Funktionen jeweils die Umkehrfunktion an.

f(x) = 3x-1 falls x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
= x-1 falls x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0

Meine Ideen:
In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben, eine Funktion heißt injektiv, falls $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ a1, a2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A gilt f(a1) = f(a2) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a1 = a2

okay, das verstehe ich so:

f(x) = f(y) = 3x-1 = 3y-1 falls x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
d.h. x=y ist hier erfüllt, damit ist der Teil für x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 erfüllt.

f(x) = f(y) = x-1 = y-1 falls x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0
d.h. x=y ist hier erfüllt, damit ist der Teil für x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 erfüllt und die Funktion ist insgesamt schonmal injektiv.

Gezeichnet komme ich hier auf das gleiche Ergebnis.

hab ich das so richtig gemacht?

jetzt zur Surjektivität:
$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A für das gilt f(a)=b

d.h. für die obige Aufgabe würde das bedeuten
f(x)= y = 3x-1, nach x aufgelöst komme ich auf x = $\begin{eqnarray*} \frac{y+1}{3} \end{eqnarray*}$
für den anderen Fall f(x) = y = x-1 komme ich auf x = y+1
wie hilft mir das jetzt weiter? Da stehe ich auf dem Schlauch...

vielen Dank für eure Hilfe!

10.12.2019, 21:38

SM!LE

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RE: Welche Abbildungen sind injektiv, surjektiv?

Zitat:

Original von BaneAI

jetzt zur Surjektivität:
$\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ a $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A für das gilt f(a)=b

Überleg an dieser Stelle erstmal was A und B sind, dann ist die Definition der Surjektivität sicherlich etwas verständlicher.

11.12.2019, 09:39

BaneAI

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Wenn ich das richtig verstanden hab, ist A und B jeweils eine Menge. Das heißt, was ich da versuche zu zeigen ist, dass es für jedes y mindestens ein x gibt. Folglich forme ich das um, damit x alleine steht, wenn ich auf der anderen Seite der Gleichung ein y habe, heißt das, dass ein x existiert.
Wenn ich aber z.B. x= $\begin{eqnarray*} frac{y} {3} \end{eqnarray*}$ habe, mein Definition bereich aber die natürlichen Zahlen sind, dann existiert für diesen x-Wert kein y Wert, folglich wäre so eine Funktion über den natürlichen Zahlen nicht surjektiv... Stimmt das so?

11.12.2019, 09:43

BaneAI

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Das sollte x= y/3 heißen

11.12.2019, 11:01

SM!LE

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Und was kannst du dann über die Surjektivität deiner Funktionen sagen, wenn du von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abbildest aber die angegebenen Einschränkungen für x vornimmst ohne den Definitions- und Wertebereich anzupassen ?

11.12.2019, 16:10

BaneAI

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Da y/3 Element der reellen Zahlen ist und demzufolge ein x zu jedem y existiert, kann ich doch sagen, die Funktion ist für x größer 0 surjektiv, jetzt gilt es noch den anderen Fall so zu überprüfen, wenn das so richtig ist, wie ich es gemacht habe

11.12.2019, 19:49

SM!LE

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RE: Welche Abbildungen sind injektiv, surjektiv?
Genau.
Bei deiner Abbildung musst du im Endeffekt nur schauen, findest du für alle $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mindestens ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ was die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Kannst das ja beispielsweise mal für $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R_0^+}\to\mathbb{R}:~f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ überlegen ob die Abbildung surjektiv ist.

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