Reihen prüfen

10.12.2019, 21:47	Unterflieger	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen prüfen Guten Abend, eine Frage... ich habe eine Reihe und soll mit den Konvergenzkriterien auf Divergenz oder Konvergenz bzw. absolute Konvergenz prüfen. $\begin{eqnarray} a_n=\frac{(4+5i)^n}{n^{2}6^n} \end{eqnarray}$ Ich würde mit dem wurzelkriterium prüfen und erhalte als limes superior dann den term $\begin{eqnarray} \frac{4+5i}{6} \end{eqnarray}$ . Könnt ihr das bestätigen oder ist das kriterium das falsche Vielen Dank euch
10.12.2019, 22:00	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme auf $\begin{eqnarray} \Big\|\frac{4+5i}{6}\Big\| \end{eqnarray}$ . Der Betrag ist wichtig, da dieser wieder eine reelle Zahl ist, welche für den Nachweis der absoluten Konvergenz bzw. Divergenz entscheidend ist. Alternativ wäre das Quotientenkriterium auch gegangen.
10.12.2019, 22:22	Unterflieger	Auf diesen Beitrag antworten »
Jupp, der betrag ist wichtig. Dusselige Frage, lässt sich die n-te wurzel in den betrag hineinziehen, denn rein formal steht im radikanten doch \|a_n\|. Also für mich scheint damit die reihe divergent. Da (1/6)Wurzel(4^2+5^2=41)=1,04..>1.
10.12.2019, 22:31	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Beträgen gilt: $\begin{eqnarray} \|a\|^n = \|a^n\| \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\|a_n\|}=\|a_n\|^{\frac{1}{n}}=\Big\|~a_n^{~~\frac{1}{n}}~\Big\|=\|\sqrt[n]{a_n}\| \end{eqnarray}$
10.12.2019, 22:42	Unterflieger	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön.das war mir nicht intuitiv irgendwie klar, aber war doch unsicher. Aber im Ergebnis bleibt die Divergenz der Reihe
10.12.2019, 22:46	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Reihe ist divergent. Kannst die Divergenz ja zur Übung noch mit dem Quotientenkriterium nachweisen.
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10.12.2019, 22:47	Unterflieger	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzliches Dankeschön. Letztendlich divergiert die reihe,weil (1/6)*wurzel(4^2+5^2=41)>1.
10.12.2019, 22:53	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das ist ja das Kriterium, um mit Hilfe des Quotienten- und Wurzelkriteriums eine Aussage über absolute Konvergenz bzw. Divergenz treffen zu können.

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