Absolute Konvergenz

11.12.2019, 16:30

Cauchy Chap

Absolute Konvergenz

Meine Frage:
Guten Tag, ich hätte eine Frage bezüglich absoluter Konvergenz, nämlich:
Wenn ich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} \end{eqnarray*}$ habe und diese absolut konvergent ist und ich eine zweite Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } b_{n} \end{eqnarray*}$ habe und diese konvergent ist, gilt dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} * b_{n} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Nach dem Cauchy-Produkt müssen ja beide Reihen absolut konvergent sein, nur gilt es evtl trotzdem?

Danke für die Hilfe!

11.12.2019, 18:37

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht in abgewürgten Sätzen, sondern ordentlich formulieren! Vermutlich soll der letzte Teilsatz sinngemäß heißen

Zitat:

gilt dann dass auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} * b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert ?

Die Antwort ist Ja: Die Konvergenz der zweiten Reihe beinhaltet u.a., dass die Reihenglieder beschränkt sind, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |b_n|\leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Damit folgt dann auch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_nb_n\right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} C\left| a_n\right| < \infty \end{eqnarray*}$ .

Sind aber beide Reihen "nur" konvergent, dann stimmt das i.a. nicht.

11.12.2019, 19:09

Cauchy Chap

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid erstmal, hab da das Wort vergessen und ja sollte konvergiert stehen.
Danke für die Antwort, die Implikation wenn beide Reihen nur konvergent sind habe ich schon widerlegt, die andere fehlte jetzt noch!
Dankeschön! smile

Neue Frage »

Antworten »

Absolute Konvergenz

Verwandte Themen