Verständnisfrage zu einer sog. mathematischen Struktur

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zu einer sog. mathematischen Struktur
Ich meine sowas: {IN, 0, +, -, S, E}. Das zB soll eine Struktur sein, mit der man die Arithmetik der natürlichen Zahlen darstellen kann. Mich interessiert aber was ganz Banales: Wieso steht da die "0" als Konstante, wo sie doch bereits in IN enthalten ist und daher jederzeit auch von dort herausgezogen werden könnte, wenn man sie braucht? Genau das Gleiche bei {IR, 0, 1, +, *}, wo doch 0 und 1 auch bereits in IR sind. Kann das jmd. erklären?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Struktur ist keine Menge {...} sondern ein Tupel (...). Zum Beispiel ist (K,+,*) ein Körper mit der Menge K, der Addition + und der Multiplikation *, wenn alle Körperaxiome erfüllt sind. Da ein Körper insbesondere neutrale Elemente der Addition und Multiplikation haben muss, weil diese in den Körperaxiomen angesprochen werden, kann man den neutralen Elementen die Namen 0 und 1 geben und die Struktur etwas deutlicher als (K,0,1,+,*) benennen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man also auch mit (IN, +, S) die Arithemtik der Addition modellieren? Die Struktur (IN, +, S, 0) wäre dann insoweit redundant, so wie man ja auch in der Logik diverse redundante Junktoren kennt, die es intuitiver machen sollen.

p.s. Mit S meine ich die Nachfolgerfunktion.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Struktur ist kein Modell. Eine Struktur ist einfach eine Isomorphieklasse von Mengen mit Operationen, Relationen und ausgezeichneten Elementen. Bei natürlichen Zahlen sowohl Nachfolgerfunktion als auch Addition anzugeben scheint mir weniger sinnvoll, weil die Addition mit der Nachfolgerfunktion definiert wird bzw. werden kann. Im Prinzip bist du auf dem richtigen Weg, denn Strukturen kann man mehr oder weniger redundant aufschreiben. Das Anfangselement der natürlichen Zahlen kann 0 oder 1 sein, man wird es genau dann in der Struktur erwähnen, wenn man es festlegen möchte.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Sind FO-Signaturen, dann ist jede -Struktur auch eine -Struktur.

Eine FO-Signatur besteht aus Konstanten-, Funktions- und Relationssymbolen. Man könnte sich in FO auch auf Relationen beschränken und mit diesen dann Konstanten und Funktionen simulieren.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Sind also (IN, +, S) und (IN, +, S, 0) gleich/isomorph?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht notwendig gleich, denn in der ersten Struktur ist der Anfang nicht benannt. Es kann z.B. (IN, +, S) = (IN, +, S, 0) oder (IN, +, S) = (IN, +, S, 1) sein. (IN, +, S, 0) ist von (IN, +, S, 1) verschieden. Es kann auch (IN, +, S) = (IN, +, S, x) sein, dann sind die natürlichen Zahlen x,S(x),S(S(x)),... Strukturen kann man definieren wie man will, man darf sie auch sinnvoll definieren. Sinnvoll wird eine Definition immer nur im Kontext der Theorie, in der sie verwendet werden soll.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eigentlich IN in der Struktur (IN, +, S, ...)? Ist das die Menge der natürlichen Zahlen, wie sie die PA definieren? Weil dann hätten wir ja per se das Anfangselement 0 drin und dann wären (IN, +, S) und (IN, +, S, 0) und genauso (IN, +, S, 1) gleich/isomorph.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

(IN, +, S, 0) und (IN, +, S, 1) sind offenbar nicht gleich und nicht isomorph. Wenn man eine Struktur definieren möchte, muss man die an der Struktur beteiligten Mengen, Operatoren und Elemente nicht nur benennen und aufschreiben. Man muss auch sämtliche Axiome formulieren, die gelten sollen. Implizit gleiche oder implizit isomorphe Strukturen gibt es nicht, man muss Namen und Definitionen explizit angeben, sonst kann man weder von Gleichheit noch von Isomorphie reden - ob und wie man sie beweist, ist noch ein anderes Kapitel.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
(IN, +, S, 0) und (IN, +, S, 1) sind offenbar nicht gleich und nicht isomorph.


Kannst du das an einem einfachen Beispiel zeigen? So gefühlt könnte Beides isomorph sein, ich meine: 0+1=1 und 1+1=2 - also die Addition des kleinsten Elements mit 1 - sind zB letztlich das gleiche Muster...und darum geht's ja bei Isomorphie.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

0 ist das neutrale Element der Addition, für 1 gilt das nicht. Also hat die eine Struktur ein neutrales Element, die andere nicht. Was du unter "gleiche Muster" verstehst, ist unklar.
Eine Isomorphie ist eine strukturerhaltende Bijektion, und die gibt es nicht zwischen Mengen mit und ohne neutralem Element. Isomorphe Strukturen kann man bis auf Benennung nicht unterscheiden, diese beiden kann man offenbar unterscheiden.
Alle sind isomorph, weil in diesen Strukturen nur gezaehlt aber nicht addiert wird.
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