Grenzwert einer Reihe finden

11.12.2019, 19:04

Pascal.Wiechers299

Grenzwert einer Reihe finden

Meine Frage:
Anbei habe ich die zu lösende Reihe eingefügt.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist es mit dem Wurzelkriterium (Konvergenzkriterium) den Faktor n weitestgehend (zumindest im Nenner) rauszukürzen, jedoch komme ich dadurch im Zähler zu einer noch komplizierteren Darstellung. Hat jemand eine Lösungsansatz?

11.12.2019, 19:09

HAL 9000

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Das ist offenbar eine geometrische Reihe. Womit sich sowohl die Fragen "für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ " und "mit welchem Grenzwert" die Reihe konvergiert schnell klären lassen.

11.12.2019, 19:36

Pascal.Wiechers2999

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Und wie genau setze ich da die geometrische Reihe ein ?

11.12.2019, 19:48

Leopold

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Die geometrische Reihe ist modifiziert. Ihre Variable $\begin{align*} w \end{align*}$ in $\begin{align*} \sum_{n} w^n \end{align*}$ ist offenbar im wesentlichen substituiert:

$\begin{align*} \frac{z^{n-1}}{(1+z)^n} = \frac{1}{z} \cdot \frac{z^n}{(1+z)^n} = \frac{1}{z} \cdot \left( \frac{z}{1+z} \right)^n \end{align*}$

Erkennst du jetzt den Zusammenhang?

11.12.2019, 19:59

HAL 9000

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Ich würde vorsichtigerweise eher $\begin{eqnarray*} \frac{z^{n-1}}{(1+z)^n} = \frac{1}{z+1} \cdot \left( \frac{z}{1+z} \right)^{n-1} \end{eqnarray*}$ umformen, damit $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ nicht ausgeschlossen werden muss.

11.12.2019, 20:20

Pascal.Wiechers2999

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Ja ich erkenne den Zusammenhang zur geometrischen Reihe nun besser weiss jedoch noch nicht so ganz wie es vom dort aus weitergeht. (s. Anhang)

Mfg

Zu HAL 9000: Müssen wir nicht im Vorhinein z = 0 ausschließen, da die Reihe bei z = 1 erst anfängt ?

11.12.2019, 21:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pascal.Wiechers2999
Müssen wir nicht im Vorhinein z = 0 ausschließen, da die Reihe bei z = 1 erst anfängt ?

Dieser Frage nach zu urteilen verwechselst du Parameter $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit Reihenindex $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Kommen wir erstmal zur Frage, für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert:

Die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n \end{eqnarray*}$ konvergiert für komplexe $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ ist. Im vorliegenden Fall bedeutet das $\begin{eqnarray*} \left| \frac{z}{z+1}\right| = \frac{|z|}{|z+1|} < 1 \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} |z| < |z+1| \end{eqnarray*}$ . Das kann man noch weiter auflösen, z.B. durch Ansatz $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ oder auch durch den gewissen geometrischen "Blick". Und der Reihenwert ist im Konvergenzfall $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ , d.h., das gilt für all diese $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ .

11.12.2019, 21:40

Pascal.Wiechers2999

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ahhhh jetzt versteh ich es. Vielen Dank!

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