Aus beschränkt durch ein Integral folgt kleiner als Epsilon?

11.12.2019, 20:27	stitch_1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus beschränkt durch ein Integral folgt kleiner als Epsilon? Meine Frage: Zuvor: Ich hoffe, die Formeleingabe funktioniert. Die Vorschau zeigt nichts an! Es geht um folgenden Beweis: Sei $\begin{eqnarray} S=\{z\in\mathbb{C}:Re(z)\leq A\}, A\in\mathbb{R}. \end{eqnarray}$ Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \kappa>1 \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} \beta>\alpha>\kappa \end{eqnarray}$ und für alle z in S gilt: $\begin{eqnarray} \|\int_\alpha^\beta \frac{t^{z-1}}{e^t-1}dt\|<\varepsilon.<br /> <br /> Mein Problem besteht darin, den letzten Beweisschritt zu erläutern, indem aus Integrierbarkeit die Aussage folgt.<br /> <br /> <b>Meine Ideen:</b><br /> Bisher lautet mein Ansatz wie folgt:<br /> <br /> Für [latex]t\geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z\in S \end{eqnarray}$ existiert eine Konstante c>0, sodass gilt: $\begin{eqnarray} \|\frac{t^{z-1}}{e^t-1}\|\leq \frac{e^{\frac{t}{2}}c}{e^t-1} \end{eqnarray}$ Damit gilt für $\begin{eqnarray} \beta>\alpha>1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \|\int_\alpha^\beta \frac{t^{z-1}}{e^t-1}dt\|\leq c\int_\alpha^\beta \frac{e^{\frac{t}{2}}}{e^t-1}dt. \end{eqnarray}$ Nun das für mich Unverständliche: Da $\begin{eqnarray} \frac{e^{\frac{t}{2}}}{e^t-1} \end{eqnarray}$ integrierbar auf $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ ist, können wir ein K>1 finden, sodass die Behauptung gilt. Dass die Funktion integrierbar ist, ist klar. Aber warum findet man dann so ein Kappa? Ich habe ja keine Stetigkeit, um das Delta-Epsilon-Kriterium anzuwenden, und das Integral zu berechnen ist extrem kompliziert - selbst für Wolfram Alpha, sodass diese Aussage aus der Quelle zu kurz wirkt. Hoffentlich hilft mir jemand aus meiner Verzweiflung.
11.12.2019, 21:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aus beschränkt durch ein Integral folgt kleiner als Epsilon? Im Grunde hast du folgende Situation $\begin{eqnarray} F(t)=\int_1^t f(u)du \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F=\lim_{t\to\infty}F(t) \end{eqnarray}$ existiert. Dann ist $\begin{eqnarray} \|\int_s^tf(u)du\|=\|F(t)-F(s)\|\leq \|F(t)-F\|+\|F-F(s)\| \end{eqnarray}$
11.12.2019, 21:24	stitch.1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich bin's, mein Name funktioniert irgendwie nicht mehr.. Ok, das hilft mir definitiv schonmal weiter! Vielen Dank!! :-) Aber es würde dann ja noch $\begin{eqnarray} <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ fehlen. Folgt dies, da ab einem geeigneten K>1 der Grenzwert nur minimal von F(t) entfernt ist?
11.12.2019, 21:27	stitch.1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Witzig ist, dass ich genau das ohne die "0"-Addition in meinen Unterlagen schon stehen hatte, aber dann ging es halt nicht auf. So müsste das K>1 dann ja vermutlich funktionieren!? Danke für die schnelle Antwort!
11.12.2019, 21:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es zu $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} K>1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|F(w)-F\|<\varepsilon / 2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w>K \end{eqnarray}$
11.12.2019, 21:49	stitch.1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, und daran sitzt man nen ganzen Tag. :-D Dummer Fehlgedanke! Ich danke dir :-)
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