Taylorpolynom invertieren

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Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom invertieren
Gegeben seien die Koeffizenten des Taylorpolynoms n-ten Grades zu einer mir unbekannten Funktion :



Für suche ich einen Algorithmus, der mir die Koeffizienten des Umkehrpolynoms am Ort der Entwicklung von f(x) liefert. Mit den Eigenschaften:

und

Meine Frage: Ist ein Algorithmus bekannt nach dem, oder eine Formel nach der man






bestimmen kann?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorpolynom invertieren
Zu Weihnachten ist wohl nicht viel los. Ich mache schon mal den Anfang:

 
 
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist etwas unklar, was du meinst. ist eine bijektive Abbildung der Klasse , die du taylorentwickelst, und jetzt willst du die Umkehrabbildung taylorentwickeln?

Wenn ja, hilft das hier weiter: https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel, bzw. auf der englischen Wikipedia steht noch was zu höheren Ableitungen: https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_fu...her_derivatives

Es lohnt sich auch hier zu schauen und die PDF aufzurufen (Achtung: japanische Seite).
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollzitat entfernt. Bitte der Übersichtlichkeit halber nur relevante Teile zitieren bzw. zum Antworten den entsprechenden Button klicken.

Das ist noch nicht das, was ich mir vorgestellt habe. Außerdem kann ich nicht japanisch lesen.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du die Frage klarer stellen, was du immer noch nicht gemacht hast.

Außerdem: Was an " Es lohnt sich auch hier zu schauen und die PDF aufzurufen (Achtung: japanische Seite)" ist unklar? Offensichtlich ist dort die PDF RLA_131_1-3.pdf verlinkt, um die aufzurufen muss man kein japanisch können.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Verdeutlichung meines Anliegens hier ein Beispiel:

soll bis zum Grad 3 Taylor- entwickelt werden. . Nehmen wir an, ich wüßte nicht, daß hier die Exponentialfunktion entwickelt wurde. Wie komme ich jetzt mithilfe der Koeffizienten auf die Koeffizienten meines Umkehrpolynoms?

Ich habe mit dem Ansatzdie Koeffizenten mit Maple schon mal ermittelt.



Die Koeffizienten in meinem Beispiel kommen auch richtig heraus. Ihr wollt mir doch nicht erklären, daß ich der Erste bin, der diese Idee hat? Wo finde ich im Internet die Formeln für die Unkehrung eines Taylorpolynoms n-ter Ordnung?
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

1. Eine allgemeine Formel für das Taylorpolynom einer Umkehrabbildung befindet sich in der PDF auf der japanischen Seite, das ist aber ja nicht das, was du dir vorgestellt hast. Trollst du also? verwirrt

2. Wenn man nur das Taylorpolynom eines Grades gegeben hat und die Funktion nicht kennt, ist es vollkommen unklar, ob man damit überhaupt eine bijektive Abbildung beschreibt (was fast nie so ist), wie soll man dann an das Taylorpolynom der inversen Abbildung kommen, die es möglicherweise gar nicht gibt?
Z.B. Seien die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung einer uns nicht bekannten Funktion. Deren Umkehrabbildung existiert zufällig. Nun sagen wir, es soll das Taylorpolynom dritten Grades dieser Funtion sein. Wenn du dir den Graphen von plotten lässt, wirst du sehen, dass keine Umkehrabbildung zu existiert. Betrachtet man hingegen wieder die Taylorreihe , so existiert dazu wieder eine Umkehrabbildung.

3. Sowas wie ein "Umkehrpolynom" gibt also es meistens nicht, auch nicht, wenn man die Umkehrabbildung einer Polynomfunktion betrachtet, z.B. . Wenn du damit das Taylorpolynom der Umkehrabbildung einer -Abbildung meinst, habe ich das schon oben gefragt, darauf wurde aber nicht reagiert. Auch in deinem Beispiel geht alles schief:
Schaut man sich an, so steht auf der linken Seite ein Polynom vom Grad mit "Leitterm" . Es muss also oder gelten. Da in deinem Beispiel ist, folgt . Daraus folgt, dass eigentlich ein Polynom vom Grad ist und ein Polynom vom Grad . Der Leitterm von ist jetzt , und das soll sein. Es folgt wieder . Analog folgt . Also ist , Widerspruch.
Man muss also zu Taylorreihen übergehen, d.h. durch die Taylorreihe wird im Falle der Konvergenz schon genau eine Abbildung beschrieben. Dann ist die Abbildung nicht mehr unbekannt und man kann die Formel benutzen, die ich jetzt schon mehrmals aufgeführt habe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Ihr wollt mir doch nicht erklären, daß ich der Erste bin, der diese Idee hat?


Natürlich nicht. Du wirst dieses Umkehrproblem für Taylorreihen in vielen Lehrbüchern der Analysis finden, nur - eine übersichtliche Formel wohl nicht (außer in japanischen Lehrwerken Big Laugh ). Gäbe es eine, würde sie sicher in diesen Lehrbüchern stehen. Im konkreten Fall kannst du so rechnen:

Gegeben ist die Taylorreihe .

Gesucht ist die Taylorreihe mit

Jetzt mußt du die linke Seite nur nach Potenzen von ordnen und einen Koeffizientenvergleich durchführen. Dann bekommst du Formeln, mit denen du die rekursiv ermitteln kannst. Viel Spaß dabei! Hier der Anfang:







tritt bei zum ersten Mal auf, und zwar linear. Daher kann man die durch Koeffizientenvergleich entstehenden Gleichungen ohne Umstände nach auflösen.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeinGastMehr
1. Eine allgemeine Formel für das Taylorpolynom einer Umkehrabbildung befindet sich in der PDF auf der japanischen Seite, das ist aber ja nicht das, was du dir vorgestellt hast. Trollst du also? verwirrt

Also auch auf dieser bekloppten Seite finde ich kein PDF mit nützlichen Formeln.
Zitat:

2. Wenn man nur das Taylorpolynom eines Grades gegeben hat und die Funktion nicht kennt, ist es vollkommen unklar, ob man damit überhaupt eine bijektive Abbildung beschreibt (was fast nie so ist), wie soll man dann an das Taylorpolynom der inversen Abbildung kommen, die es möglicherweise gar nicht gibt?

Wenn der lineare Anteil in meinem Beispiel mit , dann sowie.
Zitat:

Z.B. Seien die Taylorpolynome erster und zweiter Ordnung einer uns nicht bekannten Funktion. Deren Umkehrabbildung existiert zufällig. Nun sagen wir, es soll das Taylorpolynom dritten Grades dieser Funtion sein. Wenn du dir den Graphen von plotten lässt, wirst du sehen, dass keine Umkehrabbildung zu existiert. Betrachtet man hingegen wieder die Taylorreihe , so existiert dazu wieder eine Umkehrabbildung.

3. Sowas wie ein "Umkehrpolynom" gibt also es meistens nicht, auch nicht, wenn man die Umkehrabbildung einer Polynomfunktion betrachtet, z.B. . Wenn du damit das Taylorpolynom der Umkehrabbildung einer -Abbildung meinst, habe ich das schon oben gefragt, darauf wurde aber nicht reagiert. Auch in deinem Beispiel geht alles schief:
Schaut man sich an, so steht auf der linken Seite ein Polynom vom Grad mit "Leitterm" . Es muss also oder gelten. Da in deinem Beispiel ist, folgt . Daraus folgt, dass eigentlich ein Polynom vom Grad ist und ein Polynom vom Grad . Der Leitterm von ist jetzt , und das soll sein. Es folgt wieder . Analog folgt . Also ist , Widerspruch.
Man muss also zu Taylorreihen übergehen, d.h. durch die Taylorreihe wird im Falle der Konvergenz schon genau eine Abbildung beschrieben. Dann ist die Abbildung nicht mehr unbekannt und man kann die Formel benutzen, die ich jetzt schon mehrmals aufgeführt habe.
Das heist, mein Umkehrpolynom B(y) approximiert die Umkehrfunktion von f am Ort der Entwicklung in einer -Umgebung. Ich verstehe nicht, was es daran nicht zu kapieren gibt. Alle Ordnungen ab sind irrelevant, da diese Terme in der Umgebung verschwindend klein sind. Andernfalls wäre B(x) keine Approximation. Das muß doch einleuchten. Außerdem will ich hier reelle Zahlen verarbeiten.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dir eine (bessere) Brille zulegen, vgl. Anhang. Wenn du die PDF gesehen hast und die Formel nicht verstehst, heißt das nicht, dass sie nicht nützlich ist oder nicht das tut, was du willst.

Du gehst nicht auf das ein, was ich sage, also muss ich nicht auf das eingehen, was du sagst. Ich sage, dass es kein Umkehrpolynom gibt und du fängst wieder an mit "Das heißt, mein Umkehrpolynom...". Du kannst gerne wieder weiter elementare Dinge über Taylorpolynome hin- und herschieben, die entweder von Anfang an schon durch meine Antwort geklärt wurden oder mit denen du erst nach mehrmaliger Nachfragerei rausgerückt hast. Einmal redest du von Approximationen, einmal von tatsächlichen Gleichheiten und wenn man das dann so nimmt, wie du es geschrieben hast, schreibst du es genau anders rum. Ich liefer dir eine allgemeine Formel für die Ableitungen höheren Grades, die für die Koeffizienten der Taylorentwicklung der Umkehrfunktion benötigt werden, dann sagst du "Ich interessiere mich nur für kleinen Grad, weil die höheren Terme in einer kleinen Umgebung verschwindend klein sind". Ich bin raus.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Ihr wollt mir doch nicht erklären, daß ich der Erste bin, der diese Idee hat?


Natürlich nicht. Du wirst dieses Umkehrproblem für Taylorreihen in vielen Lehrbüchern der Analysis finden, nur - eine übersichtliche Formel wohl nicht (außer in japanischen Lehrwerken Big Laugh ). Gäbe es eine, würde sie sicher in diesen Lehrbüchern stehen. Im konkreten Fall kannst du so rechnen:

Gegeben ist die Taylorreihe .

Gesucht ist die Taylorreihe mit

Also ich gehe lieber von meinem Polynomansatz aus . Das muß ich dann nur noch in einsetzen.



aus gültig für alle x folgt dann:

für . Dabei soll die Summe über k so verstanden werden, daß nur über solche summiert wird, die Teiler von sind. Jetzt wäre nur noch zu klären, ob die letzte Gleichung stimmt, und wie ich sie nach den auflösen kann.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeinGastMehr
Dann solltest du dir eine (bessere) Brille zulegen, vgl. Anhang. Wenn du die PDF gesehen hast und die Formel nicht verstehst, heißt das nicht, dass sie nicht nützlich ist oder nicht das tut, was du willst.

Du gehst nicht auf das ein, was ich sage, also muss ich nicht auf das eingehen, was du sagst. Ich sage, dass es kein Umkehrpolynom gibt und du fängst wieder an mit "Das heißt, mein Umkehrpolynom...". Du kannst gerne wieder weiter elementare Dinge über Taylorpolynome hin- und herschieben, die entweder von Anfang an schon durch meine Antwort geklärt wurden oder mit denen du erst nach mehrmaliger Nachfragerei rausgerückt hast. Einmal redest du von Approximationen, einmal von tatsächlichen Gleichheiten und wenn man das dann so nimmt, wie du es geschrieben hast, schreibst du es genau anders rum. Ich liefer dir eine allgemeine Formel für die Ableitungen höheren Grades, die für die Koeffizienten der Taylorentwicklung der Umkehrfunktion benötigt werden, dann sagst du "Ich interessiere mich nur für kleinen Grad, weil die höheren Terme in einer kleinen Umgebung verschwindend klein sind". Ich bin raus.


Wenn alle Menschen so destruktiv denken wie Du, dann würde es die Wissenschaften und Entdeckungen in unserer Zivilisation gar nicht geben. Der Blick über den Tellerrand und die Neugier auf etwas Neues -, wer das nicht hat oder will, wird nie zu den guten Wissenschaftlern zählen. Zu sagen "Es geht nicht." hat noch niemanden voran gebracht. Gottfried Daimler nicht, Rudolf Diesel nicht und wen Du willst. Und was die Brille anbelangt, wir haben Weihnachten und nicht Ostern, wo man die Ostereier suchen läßt. Warum gibst Du nicht gleich den richtigen Link an?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau


Deine Formel ist falsch. Summen werden nach dem Distributivgesetz ausmultipliziert. Im Folgenden durchlaufen, soweit nichts anderes angegeben, die Indizes die natürlichen Zahlen . Für die Indizes gilt mit den jeweils gemachten Summationsbedingungen Entsprechendes. Man kann dann so umformen:



Jetzt faßt man diejenigen Glieder zusammen, die dieselbe Potenz besitzen:



(Für gibt es kein Tupel mit , daher genügt es, die -Summe mit aufzuhören.)

Für die erhält man durch Koeffizientenvergleich:



Falls ist, kann man diese Gleichung nach auflösen.



In der Summe für lautet der letzte Summand . Daher kann man auf jeden Fall nach auflösen, falls ist.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Falls ist, kann man diese Gleichung nach auflösen.



In der Summe für lautet der letzte Summand . Daher kann man auf jeden Fall nach auflösen, falls ist.

Vielen Dank Leopold, da habe ich einen bösen Fehler gemacht, den Du entdeckt hast. Da war bei mir zu viel Wunschdenken. Leider habe ich mir nicht die nötige Zeit genommen, sonst wäre ich vielleicht selbst drauf gekommen. Ich werde mal Deine Teillösung genauer unter die Lupe nehmen und schauen, wie ich die berechnet bekomme.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Teillösung. Vielmehr können die Gleichungen nun sukzessive nach aufgelöst werden. Die gesuchten Koeffizienten treten in den Gleichungen linear auf. Mehr kannst du bei diesem Problem nicht erwarten, außer vielleicht bei speziellen Beispielen.
Für das Beispiel der Exponentialfunktion habe ich das bereits einmal vorgerechnet.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, für das schöne Beispiel! Ich sehe es jetzt auch.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
fast original von Leopold
Falls ist, kann man diese n Gleichungen der Reihe nach auflösen.



Knifflig ist hier, die innere Summe korrekt zu berechnen. Deine Formel stimmt. Freude Gratuliere!Blumen
Hier noch mal, wie ich das getestet habe:

Gegeben sei ein Approximations-Polynom der Ordnung 3 und die formale Umkehrung:

Dabei ist gegeben.
Dabei ist gesucht.

Für ergibt Leopolds Formel . Begründung: Die äußere Summierung besitzt nur das Glied für. Damit besteht die Summierungsanweisung für die innere Summe nur aus einem Glied , sodaß uns die innere Summe ein einzelnes liefert. Mit kommen wir auf den ersten Koeffizienten des Umkehrpolynoms:

Wink

Für ergibt Leopolds Formel . Begründung: Beginnen wir mit dem ersten Summanden durch . Die Summierungsanweisung lautet für die innere Summe , was uns ein liefert. Mit finden wir den ersten Term der äußeren Summe . Der nächste Term entsteht durch . Die Summierungsanweisung lautet hier , was soviel bedeutet wie . Damit erhalten wir das und mit den Term . Alles eingesetzt liefert uns das den zweiten Koeffizienten:

fröhlich

Für ergibt sich . Begründung: Wir fangen wieder mit an und bekommen . Das liefert mir als ersten Term . Mit kommen wir auf was uns zwei Möglichkeiten läßt oder und uns liefert. Mit kommen wir auf , was soviel wie bedeutet. Damit kommen wir auf . Alles eingesetzt erhalten wir dann:

Prost

Mir hat bei dieser Zusammenstellung sehr geholfen, daß ich die letzten drei Formeln vorher mit Maple erstellt habe. Ich könnte bei Bedarf noch die höheren Ordnungen angeben und würde es tun, falls es jemand möchte. Engel Auch habe ich eine Idee gewonnen, wie knifflig es sein würde, einen Algorithmus zu programmieren, der meine Polynome bis zu einer beliebigen Ordnung invertiert. Erstaunt1

Hallo Leopold, wäre das hier eine Veröffentlichung wert, oder können wir uns das schenken? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Hallo Leopold, wäre das hier eine Veröffentlichung wert, oder können wir uns das schenken? smile


Das schenken wir uns wohl besser.

Zitat:
Original von Leopold
Du wirst dieses Umkehrproblem für Taylorreihen in vielen Lehrbüchern der Analysis finden, nur - eine übersichtliche Formel wohl nicht (außer in japanischen Lehrwerken Big Laugh ). Gäbe es eine, würde sie sicher in diesen Lehrbüchern stehen.


Ich habe einmal ein paar Bücher abgestaubt und die Problematik in "Henri Cartan, Elementare Theorien der Analytischen Funktionen einer oder mehrerer Komplexen Veränderlichen, BI Hochschultaschenbücher, Mannheim 1966" im Kapitel "Formale Potenzreihen" dargestellt gefunden. Dort wird auch keine explizite Formel für die Umkehrung der Potenzreihe angegeben. Da gibt es wohl einfach nichts Praktikables. Natürlich könnte man wegen noch gewisse Glieder mittels Multinomialkoeffizienten zusammenfassen. Aber macht dies das Ganze übersichtlicher?
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Natürlich könnte man wegen noch gewisse Glieder mittels Multinomialkoeffizienten zusammenfassen. Aber macht dies das Ganze übersichtlicher?

Danke nochmals Leopold! smile

Ich habe außerdem darüber nachgedacht wieviele Möglichkeiten es gibt, für gegebene und zu erfüllen. Da komme ich auf Möglichkeiten. Vielleicht entwickele ich noch ein Programm, das mir diese Möglichkeiten alle aufzählt als Grundlage für ein Invertierungsprogram.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann immer noch die explizite Formel nehmen, die ich ganz am Anfang hier gepostet habe.

Sei mit . Gesucht ist mit für alle .

Dann gilt:

.

Da es etwas klein ist: Die Summe läuft über alle , die und erfüllen.

Diese Formel ist nicht rekursiv und somit braucht man nicht um zu berechnen.

Veranschaulichung:
  • Für gibt es nur einen Summanden; dieser korrespondiert zu . Also gilt .
  • Für suchen wir , sodass und . Es gibt nur die Möglichkeit . Somit folgt .
  • Für gibt es nur die Möglichkeiten . Somit folgt .


Wieso von Anfang an gesagt wurde, dass das nicht das ist, was man sich vorgestellt hat, obwohl es jetzt genau auf sowas hinauslief, weiß ich nicht. Es wäre ja zu viel verlangt, tatsächlich über einen Vorschlag nachzudenken.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeinGastMehr
Man kann immer noch die explizite Formel nehmen, die ich ganz am Anfang hier gepostet habe.

Sei mit . Gesucht ist mit für alle .
Ich dachte, Du wärst raus. Finger1 Sag mal: Warum übernimmst Du nicht meine Definitionen für A und B? LOL Hammer
Zitat:

Dann gilt:

.
Ich schlage vor, daß Du nächstes mal einen Link auf eine Mauslupe mitlieferst, damit man die komplizierte Indexierung überhaupt lesen kann. Big Laugh

Zitat:

Da es etwas klein ist: Die Summe läuft über alle , die und erfüllen.

Auf Anhieb würde ich mich schwer tun, einen Algorithmus zu finden, der Deine der Reihe nach so generiert, daß beide Gleichungen erfüllt sind. Aber Du kannst es ja als Frage bei Matheboard posten. Hammer
Zitat:

Diese Formel ist nicht rekursiv und somit braucht man nicht um zu berechnen.
Diesen Vorteil brauche ich nicht.
Zitat:

Veranschaulichung:
  • Für gibt es nur einen Summanden; dieser korrespondiert zu . Also gilt .
  • Für suchen wir , sodass und . Es gibt nur die Möglichkeit . Somit folgt .
  • Für gibt es nur die Möglichkeiten . Somit folgt .


Wieso von Anfang an gesagt wurde, dass das nicht das ist, was man sich vorgestellt hat, obwohl es jetzt genau auf sowas hinauslief, weiß ich nicht. Es wäre ja zu viel verlangt, tatsächlich über einen Vorschlag nachzudenken.

Kurz gesagt, was Du hier postest ist für mich komplizierter, schwieriger zu implementieren und erfordern ein mir unbekanntes Maß an Mühe, alles nachzuvollziehen. Erstaunt1 Was Leopold geliefert hat habe ich gut nachvollzogen und ist aus meiner Sicht besser. Augenzwinkern
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich dachte, Du wärst raus.

Ich dachte, ich versuche doch zu helfen und liefere eine algorithmisch wesentlich schnellere Methode. Aber weil du so darum bittest, bin ich nach diesem Beitrag endgültig raus. Ich kann dich nicht zwingen, eine deutlich effizientere Methode zu benutzen. Augenzwinkern

Zitat:
Diesen Vorteil brauche ich nicht.

Dann sag mir mal auf Anhieb den 2019. Koeffizienten mit der rekursiven Methode, nur in Abhängigkeit der . Danke.

Zitat:
Auf Anhieb würde ich mich schwer tun, einen Algorithmus zu finden, der Deine der Reihe nach so generiert, daß beide Gleichungen erfüllt sind.

Ist das dein Ernst? In der vorherigen Formel geht man alle Summenindizes mit einer Schleife durch und summiert dann Sachen auf. Hier macht man das gleiche, aber muss zusätzlich noch überprüfen, ob die zweite Gleichung erfüllt ist. Das ist eine simple if-Abfrage. Ob es eine schnellere/bessere Methode zur Implementierung gibt, weiß ich nicht: aber selbst diese Methode hier hat den Vorteil, dass wenn ich den 2019. Koeffizienten haben will, nicht erst Koeffizienten 1 bis 2018 berechnen muss. Für höhere Koeffizienten ist das also sicherlich deutlich effizienter und würde auch in jedem Computer-Algebra-System aufgrund der Effizienz genau so als Algorithmus implementiert werden (modulo der if-Abfrage, wenn es dafür ggf. noch eine bessere Art zur Implementierung gibt). Darüber gibt es absolut keinen Diskussionsbedarf. Wenn du es für deine Pipifax-Rechnungen gerne rekursiv machen willst und es nur bis Grad 3 brauchst, gern, ich halte dich nicht auf.

Zitat:
Kurz gesagt, was Du hier postest ist für mich komplizierter, schwieriger zu implementieren


Siehe oben: Nein. Eine if-Schleife erfordert keine komplizierten Implementierungen.

Zitat:
Was Leopold geliefert hat habe ich gut nachvollzogen und ist aus meiner Sicht besser.


Klar, solang man nicht mit Koeffizienten vor großen Potenzen von rechnen muss, ist die rekursive Methode auch gut. Allerdings wird hier ständig darüber diskutiert, ob es eine explizitere Version gibt, und dann liefere ich diese und nur weil du sie nicht verstehst und ich KeinGastMehr bin, ist sie nicht gut. Augenzwinkern Der Grund, warum es besser ist, wurde aber nicht geliefert - "ich verstehe es nicht" ist kein Grund, und schwer zu implementieren ist es auch nicht.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@keinGastMehr

Ich verstehe Dich nicht. Wenn das Problem noch nicht gelöst ist, erklärst Du das Problem sei nicht lösbar und bist weg. Schläfer Wenn das Problem inzwischen gelöst wurde, kommst Du wieder an Wink und behauptest eine bessere Lösung zu haben und bist noch beleidigt, wenn man Deine angeblich bessere Lösung nicht sofort nimmt. böse

Ich gehe da ganz rational vor. Zuerst will ich die Lösung von Leopold umsetzen. Und wenn das läuft, oder zu schwierig wird, kommt Deine Lösung dran. Dann will ich schauen, ob es damit besser geht. Interessant wäre auch die Herleitung Deiner Formel. Lesen2
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeinGastMehr
Nun sagen wir, es soll das Taylorpolynom dritten Grades dieser Funtion sein. Wenn du dir den Graphen von plotten lässt, wirst du sehen, dass keine Umkehrabbildung zu existiert. Betrachtet man hingegen wieder die Taylorreihe , so existiert dazu wieder eine Umkehrabbildung.

3. Sowas wie ein "Umkehrpolynom" gibt also es meistens nicht, auch nicht, wenn man die Umkehrabbildung einer Polynomfunktion betrachtet, z.B. . Man muss also zu Taylorreihen übergehen, d.h. durch die Taylorreihe wird im Falle der Konvergenz schon genau eine Abbildung beschrieben. Dann ist die Abbildung nicht mehr unbekannt und man kann die Formel benutzen, die ich jetzt schon mehrmals aufgeführt habe.


Ich finde, Du bist viel zu schnell beleidigt. Ich habe mir jetzt die Zeit genommen, deine Lösung genauer anzuschauen. Sie hat gegenüber der Lösung von Leopold den großen Vorteil, daß Sie explizit ist. Freude Und daß sie ein gewisses Tüfteln beim Bestimmen der erfordert, ist nicht Deine Schuld. Vorher war ich mir nicht sicher, ob ich mit Deiner Lösung etwas anfangen kann. Mit Deiner anfänglichen Negativität gewann ich Vorbehalte gegen das was Du lieferst.

Hättest Du Dich genau an meine Definitionen in meiner Aufgabenstellung gehalten und außerdem die Herleitung dargestellt, wäre ich eher geneigt gewesen, Deine Lösung sofort zu untersuchen. Aber letztlich macht das nur einen halben Tag aus. Und ich finde, wenn diese Lösung stimmt und von Dir stammt, dann verdient das meine große Anerkennung. Respekt
Also sei nicht beleidigt! Ich danke Dir für diese großartige Lösung. Freude Und falls Du Zeit hast; Herleitungen sind oft noch interessanter als Lösungen. smile
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