Vorstellung eines adjungierten Körpers

13.12.2019, 21:57	Asau	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorstellung eines adjungierten Körpers Meine Frage: Servus, mir fehlt eine Vorstellung von Körpererweiterungen. Wenn ich z.B. die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2}\in \mathbb R \end{eqnarray}$ habe. Wie sieht dann $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ aus? Wir hatten lediglich definiert, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ dann der kleinste Teilkörper $\begin{eqnarray} \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ist, der $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{\sqrt{2}\} \end{eqnarray}$ enthält. Meine Ideen: Da $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ ein Körper ist, sind sicher jegliche Summen, Vielfache usw. $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ enthalten sowie die Inverse etc.
13.12.2019, 22:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vorstellung eines adjungierten Körpers Wenn der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ enthält, dann auch jeden Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Und jetzt kann man sich überlegen, dass die Menge dieser Ausdrücke mit der rellen Addition und Multiplikation schon ein Körper ist. Für die Inversen hilft wie üblich die dritte binomische Formel.
14.12.2019, 11:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So stelle ich mir die 3 verschiedenen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q\subset\mathbb Q(\sqrt 2)\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ vor (linkes Bild). Man muss sehr genau hinschauen, um die Unterschiede zu erkennen, weil schon $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dicht in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ist. So stelle ich mir den 2-dimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ vor (rechtes Bild), wobei die x-Achse die rationalen und die y-Achse die irrationalen Anteile der Summen $\begin{eqnarray} a+b\sqrt 2 \end{eqnarray}$ darstellt. Die Punkte zeigen netterweise die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z[\sqrt 2]=\{x+y\sqrt 2:x,y\in\mathbb Z\}\subset\mathbb Q(\sqrt 2) \end{eqnarray}$ an. Die Vorstellung von Leopold Kronecker, einem der Erfinder der Adjunktion, war rein algebraisch. Er konstruierte $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 2)=\mathbb Q[x]/(x^2-2) \end{eqnarray}$ als Restklassenkörper des rationalen Polynomrings nach dem Hauptideal, das von dem irreduziblen Polynom $\begin{eqnarray} x^2-2 \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Damit man diesen Körper sehen kann, muss man ihn wieder in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ einbetten, und dann sieht er genau so aus, wie im linken Bild (oder wie im rechten Bild, oder wie immer man ihn sonst noch künstlerisch darstellen möchte). Sowohl die Vektorraumvorstellung als auch die Restklassenkörpervorstellung ist sinnvoll, hilfreich, nützlich und verallgemeinerbar auf beliebige algebraische Körpererweiterungen.

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