Algebraische Unabhängigkeit der Exponentialfunktion

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraische Unabhängigkeit der Exponentialfunktion
Hallo ihr lieben alle smile

und zwar beschäfitge ich mich aktuell mit algebraischer Unabhängigkeit. Leider mangelt es noch am Verständnis.
Ich möchte zeigen, dass algebraisch unabhängig sind über .
Meine Idee wäre, das über vollständige Induktion zu machen.
Nun weiß ich ehrlich gesagt nicht genau, wie ich die Definiton hier anzuwenden habe.
Ich muss ja zeigen, dass es kein Polynom gibt, mit .

Nun würde ich für die Induktion definieren wollen: mit

Dann wäre der Induktionsanfang mit n=0: .

Zum besseren Verständnis würde ich das nun gerne mit n=1 wagen, allerdings weiß ich da nicht wirklich, wie ich das Polynom aufzustellen habe.
Ich hätte ja dann die Komponenten und . Dabei weiß ich, dass exp(z)>0 für alle .
Aber da bin ich für meine Begriffe zu nah dran an der linearen Unabhängigkeit verwirrt

Kann mir jemand den Weg weisen?
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da gehen ein paar Sachen schief.

Normalerweise spricht man von algebraischer Unabhängigkeit von Elementen in einem Körper bzgl. eines Teilkörpers:

Sei eine Körpererweiterung. Elemente heißen algebraisch unabhängig über , falls es kein Polynom gibt, sodass . Eine unendliche Teilmenge heißt algebraisch unabhängig über , falls je endlich viele Elemente aus algebraisch unabhängig über sind.


Was sind diese Körper hier oder hast du andere Definitionen? Kommt in der Liste wirklich vor? Soll man dann wirklich algebraische Unabhängigkeit zeigen? Was ist ?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo KeinGastMehr,

danke für deine Einwände. In der Tat betrachten wir nur den Körper , also keine Körpererweiterung im klassichen Sinne.
Wir haben keine schriftliche Aufgabe bekommen, sondern es wurde uns in der Vorlesung gesagt, dass man sich das als Übung mal klarmachen sollte. Von daher dachte ich selbst, beginne ich die Induktion bei 0 und dann wird wohl die konstante 1 rauskommen.
Aber selbst wenn das falsch ist, kann ich mit
n=1: argumentieren, oder?
Und es ist .
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist kein Körper für . Was verstehst du denn unter algebraischer Unabhängigkeit? Was wurde denn genau in der Vorlesung gesagt?

für ergibt keinen Sinn.

Ohne genaue Angaben kann ich nur raten, leider. verwirrt
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

ist kein Körper?
Wir hatten das immer mit identifiziert, was ja ein Körper ist.

Oh das tut mir sehr leid wenn ich nun einiges vergesse/durcheinanderwerfe. Da tausche ich mich am besten erstnochmal aus, wahrscheinlich habe ich dann was falsch aufgeschrieben.

Tut mir Leid deine Zeit quasi unnütz verschwendet zu habenunglücklich
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem - meld dich einfach noch mal, wenn du vollständige Angaben hast. Dann helfe ich gern. smile
 
 
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr freundlich, danke smile
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal ich smile

Das wird bis morgen dauern.
Allerdings kann ich den Sonntag ja nutzen, um mein Verständnis dahingehend bereits zu vertiefen.
Ich könnte doch also die algebraische Unabhängigkeit der Funktionen für zeigen, oder? Oder fehlen mir dort nun wiederum Angaben für?
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