|= x (x ist Formel oder Formelmenge) |
15.12.2019, 13:13 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
|= x (x ist Formel oder Formelmenge) |
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15.12.2019, 14:19 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
15.12.2019, 18:18 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Daraus folgt aber Unsinn. Sei = p & ~p. Dann gilt genauso , denn das Folgerungszeichen ist eben (metasprachlich) definiert wie der Implikationspfeil (objektsprachlich) und da wissen wir, dass aus Nichts bzw. Falschem Beliebiges folgt. Damit wird auf einmal eine Kontradiktion allgemeingültig. Doch das will man ja nicht, man will ja mit ausdrücken, dass die Formel immer wahr ist und das geht nicht mit dem Folgerungsbegriff, weil der eben folgert und nicht statisch etwas (als wahr) festsetzt. So jedenfalls ist da mein Gedankengang.... |
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15.12.2019, 19:08 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
15.12.2019, 23:28 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, und aus dieser Definition folgt, dass wenn nicht alle aus wahr sind, dann gilt genauso: . Denn die Implikation der Definition ist dann genauso gegeben. Das ist das berüchtigte Ex Falso Quodlibet. Genau deshalb ist jede Folgerung aus der leeren Menge gültig, egal, ob das Gefolgerte wahr oder falsch ist und genau deshalb bin ich irritiert, wenn angebliche Tautologien so gekennzeichnet werden. |
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16.12.2019, 00:45 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jede Intepretation erfüllt die leere Menge. Darum ist gleichbedeutend damit, dass eine Tautologie ist. |
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16.12.2019, 22:29 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann es sein, dass "|=" unterschiedlich benutzt wird? Einmal wird "|=" als semantisches Folgerungszeichen bzw. als metasprachliche Implikation benutzt und da gilt, dass zB p & ~p |= p & ~p, so dass dort emptyset |= x keinesfalls bedeuten muss, dass x eine Tautologie ist, weil zB emptyset -> p & ~p eine Tautologie ist (der Antecedens kann nie wahr sein, also ist die Implikation immer wahr) und damit gilt: emptyset |= p & ~p. Ein anderes Mal wird |= als Modellbeziehung benutzt, also quasi nur als Kriterum, wann was wahr ist und in diesem Sinne ist |= x eine Abkürzung für: jede beliebige Interpretation |= x, wodurch x = Tautologie, aber dann ist eben emptyset |= x trotzdem missverständlich. |
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17.12.2019, 00:13 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das Symbol steht für zwei unterschiedliche Relationen. Eine hat das Format (Modellbeziehung), die zweite hat das Format (semantische Folgerung). Die Verbindung ist wie folgt: 1.: 2.: .
Das ist keine Formel.
Nein.
Nein. |
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17.12.2019, 22:32 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wir wissen aus dem Deduktionstheorem, dass sich jede semantische Folgerung als tautologische Implikation schreiben lassen muss. So sähe F |= x als Implikation so aus (wir nehmen mal an, F wäre die Menge der Aussagen f1 und f2): (f1 & f2) -> x...und diese Implikation müsste immer wahr sein. Wie sähe so eine Implikation für |= x aus? Das kann man doch gar nicht als wff schreiben! |
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17.12.2019, 23:11 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Allgemein ist gdw. . Bei ist die leere Konjunktion, und dann . Alles bestens. Edit: hatte 1 mit 0 vertauscht. |
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19.12.2019, 02:52 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Quantifizierung über Formeln? Warum nicht einfach ? Außerdem rate ich dringend davon ab als Bezeichner für Formeln zu verwenden. |
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19.12.2019, 22:57 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zum einen verkürzt das die Notation, zum anderen sind da dann prädikatenlogische Regeln nutzbar. Natürlich genügt bei endlichen Formelmengen die Aussagenlogik. Der Allquantor kommt lediglich in rekursiver Definition hinzu: , Das Deduktionstheorem beleuchtet ja einen starken Zusammenhang zwischen Metasprache und Objektsprache. In den Einzugsbereich dieses Zusammenhangs gerät auch die Formelmenge, die dort auf der rechten Seite nun in objektsprachlicher Position erscheint. ---- Kurzes Anwendungsbeispiel. Das Deduktionstheorem gdw. vorausgesetzt. Zeigen, dass es auch in der Form gdw. gilt. Induktionsanfang: Definition einsetzen. Thema dieses Threads. Induktionsschritt: gdw. gdw. gdw. gdw. |
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19.12.2019, 23:15 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ganz allgemein gilt ja gdw. Hierbei können auch Listen sein. |
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19.12.2019, 23:20 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sicher. Ich würde nur in FO nicht (in der Objektsprache) schreiben, da Quantoren eben erststufig sind. |
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26.12.2019, 17:56 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich denke ich habe das jetzt verstanden. Ausgangspunkt war - wie so oft - eine zu informelle Vorstellung des Folgerungsbegriffs. Danach bedeutet "|=" sowas wie: wenn die Formeln links davon wahr sind, dann auch die Formeln rechts davon. Wenn aber links davon nichts steht (leere Menge), dann weiß niemand so recht, was das bedeuten soll, es ist schlicht unter der gegebenen Definition nicht definiert. Klarer wird es, wenn man exakt definiert: P |= x <=> (y = 1 für alle y P) -> x = 1 <=> (y P -> y = 1) -> x = 1. Jetzt sieht man förmlich was passiert, wenn P die leere Menge ist. Der Antecedens im rot Markierten ist wahr, weil dessen Antecedens (y P) wiederum falsch ist. Damit die gesamte Aussage wahr ist, muss daher "x = 1" immer wahr sein, also eine Tautologie. Hab ich es jetzt richtig verstanden? |
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28.12.2019, 01:19 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man weiß, was es bedeutet: Vacuous truth.
Hier fehlen Quantifizierungen und Interpretationen. Die Definition wurde im Thread geliefert, siehe die Beiträge von Finn_ und mir. |
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28.12.2019, 07:25 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Darauf muss man aber erstmal kommen. Erstmal sieht man nur: |= x und denkt: häh, wie kann aus Nichts ein x folgen, wie soll man sich das vorstellen, wie soll so eine Aussage/Schluss aussehen? Erst dann merkt man, dass das eine krude Abkürzung für sehr wohl eine Prämissenmenge ist, nämlich eine Implikation mit falschem Antecedens (weil eben mit leerer Menge operierend). Würde man schreiben: TRUE |= x oder F -> y |= x dann wüssten auch Logik-Laien, was damit gemeint ist: x muss wahr sein, sonst funktioniert diese Folgerung oder dieses Modell nicht. Was ich nicht verstehe ist, dass in Büchern der math. Logik sowas nicht Schritt für Schritt aufgedröselt wird, da wird viel zu schnell viel zu spartanisch symbolisiert anstatt mehr zu erklären.
Ja, ging mir auch eher ums Verstehen des Prinzips als die Feinheiten, mit denen brauche ich nicht anfangen, wenn ich schon sowas wie hier nicht verstehe. |
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28.12.2019, 12:53 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu sagen, eine Formel sei wahr oder falsch, ohne Bezug auf eine Interpretation, ergibt keinen Sinn. Das sind keine Feinheiten, sondern Basics. Der ganze Punkt bei der semantischen Folgerung ist, dass über alle Interpretationen quantifiziert wird. Man möchte wissen, welche Implikationen allgemeingültig, d.h. für alle Modelle gültig sind. |
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