|= x (x ist Formel oder Formelmenge)

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
|= x (x ist Formel oder Formelmenge)
Man liest o.g. Schreibweise immer wieder, aber sie ist mE sehr missverständlich, denn man will damit ja ausdrücken, dass x immer wahr, also eine Tautologie, ist. Doch |= ist nichts anderes als eine metasprachliche Implikation, d.h. das Zeichen |= besagt lediglich, dass wenn links davon etwas wahr ist, dann auch das rechts davon. Wenn aber links davon nichts steht, dann kann man gerade nicht folgern, dass im Beispiel x wahr ist; x kann genausogut falsch sein. Versteht jmd., was ich meine? Denke ich hier falsch oder ist das einfach eine unglückliche Konvention?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig


Daraus folgt aber Unsinn. Sei = p & ~p. Dann gilt genauso , denn das Folgerungszeichen ist eben (metasprachlich) definiert wie der Implikationspfeil (objektsprachlich) und da wissen wir, dass aus Nichts bzw. Falschem Beliebiges folgt. Damit wird auf einmal eine Kontradiktion allgemeingültig. Doch das will man ja nicht, man will ja mit ausdrücken, dass die Formel immer wahr ist und das geht nicht mit dem Folgerungsbegriff, weil der eben folgert und nicht statisch etwas (als wahr) festsetzt. So jedenfalls ist da mein Gedankengang....
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig


Ja, und aus dieser Definition folgt, dass wenn nicht alle aus wahr sind, dann gilt genauso: . Denn die Implikation der Definition ist dann genauso gegeben. Das ist das berüchtigte Ex Falso Quodlibet. Genau deshalb ist jede Folgerung aus der leeren Menge gültig, egal, ob das Gefolgerte wahr oder falsch ist und genau deshalb bin ich irritiert, wenn angebliche Tautologien so gekennzeichnet werden.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Intepretation erfüllt die leere Menge. Darum ist gleichbedeutend damit, dass eine Tautologie ist.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass "|=" unterschiedlich benutzt wird?

Einmal wird "|=" als semantisches Folgerungszeichen bzw. als metasprachliche Implikation benutzt und da gilt, dass zB p & ~p |= p & ~p, so dass dort emptyset |= x keinesfalls bedeuten muss, dass x eine Tautologie ist, weil zB emptyset -> p & ~p eine Tautologie ist (der Antecedens kann nie wahr sein, also ist die Implikation immer wahr) und damit gilt: emptyset |= p & ~p.

Ein anderes Mal wird |= als Modellbeziehung benutzt, also quasi nur als Kriterum, wann was wahr ist und in diesem Sinne ist |= x eine Abkürzung für: jede beliebige Interpretation |= x, wodurch x = Tautologie, aber dann ist eben emptyset |= x trotzdem missverständlich.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das Symbol steht für zwei unterschiedliche Relationen. Eine hat das Format (Modellbeziehung), die zweite hat das Format (semantische Folgerung).

Die Verbindung ist wie folgt:
1.:

2.: .

Zitat:
weil zB emptyset -> p & ~p eine Tautologie ist

Das ist keine Formel.

Zitat:
emptyset |= p & ~p

Nein.

Zitat:
aber dann ist eben emptyset |= x trotzdem missverständlich

Nein.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen aus dem Deduktionstheorem, dass sich jede semantische Folgerung als tautologische Implikation schreiben lassen muss. So sähe F |= x als Implikation so aus (wir nehmen mal an, F wäre die Menge der Aussagen f1 und f2): (f1 & f2) -> x...und diese Implikation müsste immer wahr sein. Wie sähe so eine Implikation für |= x aus? Das kann man doch gar nicht als wff schreiben!
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein ist
gdw. .

Bei ist die leere Konjunktion, und dann . Alles bestens.

Edit: hatte 1 mit 0 vertauscht.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_


Quantifizierung über Formeln? Warum nicht einfach ?

Außerdem rate ich dringend davon ab als Bezeichner für Formeln zu verwenden.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen verkürzt das die Notation, zum anderen sind da dann prädikatenlogische Regeln nutzbar. Natürlich genügt bei endlichen Formelmengen die Aussagenlogik. Der Allquantor kommt lediglich in rekursiver Definition hinzu:
,


Das Deduktionstheorem beleuchtet ja einen starken Zusammenhang zwischen Metasprache und Objektsprache. In den Einzugsbereich dieses Zusammenhangs gerät auch die Formelmenge, die dort auf der rechten Seite nun in objektsprachlicher Position erscheint.

----
Kurzes Anwendungsbeispiel. Das Deduktionstheorem
gdw.
vorausgesetzt. Zeigen, dass es auch in der Form
gdw.
gilt.

Induktionsanfang:
Definition einsetzen. Thema dieses Threads.

Induktionsschritt:

gdw.
gdw.
gdw.
gdw.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz allgemein gilt ja
gdw.

Hierbei können auch Listen sein.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher. Ich würde nur in FO nicht (in der Objektsprache) schreiben, da Quantoren eben erststufig sind.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habe das jetzt verstanden.

Ausgangspunkt war - wie so oft - eine zu informelle Vorstellung des Folgerungsbegriffs. Danach bedeutet "|=" sowas wie: wenn die Formeln links davon wahr sind, dann auch die Formeln rechts davon. Wenn aber links davon nichts steht (leere Menge), dann weiß niemand so recht, was das bedeuten soll, es ist schlicht unter der gegebenen Definition nicht definiert.

Klarer wird es, wenn man exakt definiert:

P |= x <=> (y = 1 für alle y P) -> x = 1 <=> (y P -> y = 1) -> x = 1.

Jetzt sieht man förmlich was passiert, wenn P die leere Menge ist. Der Antecedens im rot Markierten ist wahr, weil dessen Antecedens (y P) wiederum falsch ist. Damit die gesamte Aussage wahr ist, muss daher "x = 1" immer wahr sein, also eine Tautologie. Hab ich es jetzt richtig verstanden?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
dann weiß niemand so recht, was das bedeuten soll, es ist schlicht unter der gegebenen Definition nicht definiert.

Man weiß, was es bedeutet: Vacuous truth.

Zitat:
Original von Pippen
P |= x <=> (y = 1 für alle y P) -> x = 1 <=> (y P -> y = 1) -> x = 1.

Hier fehlen Quantifizierungen und Interpretationen. Die Definition wurde im Thread geliefert, siehe die Beiträge von Finn_ und mir.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zitat:
Original von Pippen
dann weiß niemand so recht, was das bedeuten soll, es ist schlicht unter der gegebenen Definition nicht definiert.

Man weiß, was es bedeutet: Vacuous truth.


Darauf muss man aber erstmal kommen. Erstmal sieht man nur: |= x und denkt: häh, wie kann aus Nichts ein x folgen, wie soll man sich das vorstellen, wie soll so eine Aussage/Schluss aussehen? Erst dann merkt man, dass das eine krude Abkürzung für sehr wohl eine Prämissenmenge ist, nämlich eine Implikation mit falschem Antecedens (weil eben mit leerer Menge operierend). Würde man schreiben: TRUE |= x oder F -> y |= x dann wüssten auch Logik-Laien, was damit gemeint ist: x muss wahr sein, sonst funktioniert diese Folgerung oder dieses Modell nicht. Was ich nicht verstehe ist, dass in Büchern der math. Logik sowas nicht Schritt für Schritt aufgedröselt wird, da wird viel zu schnell viel zu spartanisch symbolisiert anstatt mehr zu erklären.

Zitat:
Original von Pippen
Hier fehlen Quantifizierungen und Interpretationen. Die Definition wurde im Thread geliefert, siehe die Beiträge von Finn_ und mir.


Ja, ging mir auch eher ums Verstehen des Prinzips als die Feinheiten, mit denen brauche ich nicht anfangen, wenn ich schon sowas wie hier nicht verstehe.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Ja, ging mir auch eher ums Verstehen des Prinzips als die Feinheiten, mit denen brauche ich nicht anfangen, wenn ich schon sowas wie hier nicht verstehe.


Zu sagen, eine Formel sei wahr oder falsch, ohne Bezug auf eine Interpretation, ergibt keinen Sinn. Das sind keine Feinheiten, sondern Basics.

Der ganze Punkt bei der semantischen Folgerung ist, dass über alle Interpretationen quantifiziert wird. Man möchte wissen, welche Implikationen allgemeingültig, d.h. für alle Modelle gültig sind.
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