Integrationsgrenzen bestimmen

15.12.2019, 13:19	Viggo	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen bestimmen Meine Frage: Moin, wir sollen ein Volumen der Menge T berechnen, wobei $\begin{eqnarray} \mathrm{T}:=\Bigg\{ \big(x,y,z\big)\in \mathbb R^3; \bigg( \sqrt{x^2+y^2}-2\bigg)^2+z^2\leq 1\Bigg\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Es ist mir natürlich bewusst ein Volumenintegral von $\begin{eqnarray} \iiint_T 1 \,dT \end{eqnarray}$ zu bilden. Jedoch habe ich keine Ahnung, wie die Grenzen aussehen sollen.
15.12.2019, 14:25	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Viggo. da ich gerade unterwegs bin kann ich es nicht genau durchrechnen. Würde dir aber hier shconmal den Tipp geben, mal zu parametrisieren. Insbesondere $\begin{eqnarray} sqrt(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ spricht doch für Kreiskoordinanten. Meiner Meinung nach sollte man hier auch explizit nach z auflösen können mit Fallunterscheidung. Dann ergibt sich übrigens auch eine Einschränkung an den Definitionsbereich
15.12.2019, 14:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisieren ist einen Versuch wert. Beim Umstellen der Gleichung kommt man schnell auf $\begin{eqnarray} z^2 \leq 1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -1 \leq z \leq 1 \end{eqnarray}$ . Danach durch Einsetzen auf $\begin{eqnarray} 1 \leq x^2 + y^2 \leq 9 \end{eqnarray}$ Vielleicht hilft das schon mal. mY+
15.12.2019, 15:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier rotiert ein Kreis vom Radius 1, dessen Mittelpunkt vom Ursprung den Abstand 2 besitzt, um die z-Achse. Es entsteht ein Torus.
15.12.2019, 17:20	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Auflösung zur etwas vertrauteren Form z = f(x,y), wie von MaPalui vorgeschlagen ist meistens dem Vorstellungsvermögen förderlich. Nachdem ich es komplett durchgerechnet habe, kann ich nun wärmstens empfehlen, den Wertebereich von z auf diese Weise zu ermitteln und dann zu Zylinderkoordinaten überzugehen. Das entstehende Dreifachintegral ist wunderbar angenehm zu lösen. Und: Dank dem Hinweis von Leopold ist das berechnete Ergebnis dann sogar mit der Guldinschen Regel überprüfbar.
15.12.2019, 19:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Tatsache, daß $\begin{align} x^2 + y^2 \leq r^2 \end{align}$ für $\begin{align} r>0 \end{align}$ einen Kreis vom Radius $\begin{align} r \end{align}$ beschreibt, mehrfach verwenden. Den Kreisinhalt $\begin{align} \pi r^2 \end{align}$ darf man wohl als bekannt voraussetzen und braucht man nicht jedes Mal erneut herzuleiten (das betone ich bei solchen Aufgaben immer wieder). Dann geht das nämlich ganz schnell. Die den Bereich $\begin{align} T \end{align}$ beschreibende Ungleichung läßt sich äquivalent umformen zu $\begin{align} \text{()} \ \ \left( 2 - \sqrt{1 - z^2} \right)^2 \leq x^2 + y^2 \leq \left( 2 + \sqrt{1 - z^2} \right)^2 \end{align}$ Damit diese Ungleichung erfüllbar ist, muß man $\begin{align} -1 \leq z \leq 1 \end{align}$ voraussetzen. In Abhängigkeit von $\begin{align} z \end{align}$ bezeichne ich den Bereich aller $\begin{align} (x,y) \end{align}$ , die die Ungleichung $\begin{align} \text{()} \end{align}$ erfüllen, mit $\begin{align} B(z) \end{align}$ . Der zweidimensionale Inhalt von $\begin{align} B(z) \end{align}$ ist die Differenz zweier Kreisflächen, nämlich $\begin{align} \pi \left( 2 + \sqrt{1 - z^2} \right)^2 - \pi \left( 2 - \sqrt{1 - z^2} \right)^2 = 8 \pi \sqrt{1 - z^2} \end{align}$ Die Funktion $\begin{align} z \mapsto \sqrt{1 - z^2} \end{align}$ beschreibt einen Halbkreis vom Radius 1, also mit Inhalt $\begin{align} \frac{1}{2} \pi \end{align}$ . Folglich gilt für das Volumen von $\begin{align} T \end{align}$ : $\begin{align} V(T) = \int \limits_{-1}^1 \int \limits_{B(z)} \dd(x,y) ~ \dd z \ = \ 8 \pi \int \limits_{-1}^1 \sqrt{1 - z^2} ~ \dd z \ = \ 8 \pi \cdot \frac{1}{2} \pi = 4 \pi^2 \end{align}$
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »