Symmetrie bei eingeschränktem Definitionsbereich

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FFT_Lover Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrie bei eingeschränktem Definitionsbereich
Hallo Community Wink ,


ich beschäftige mich gerade mit der Fouriertransformation und diese ist für Funktionen, welche symmetrische Eigenschaften haben besonders. Mein Problem ist daher herauszufinden, ob meine Funktion überhaupt symmetrisch ist. Bzw. weiterhin sich in geraden und ungeraden Teil zerlegen lässt.

Ich arbeite auf Bilddaten, daher handelt es sich um eine zweidimesionale Funktion, welche ich wie folgt definiert habe:



x und y liegen dabei nur im Bereich von 0 bis 256. (daher eingeschränkter Definitionsbereich)

Die Funktion ist jetzt nur ein Beispiel und soll ein ausgefülltes Rechteck darstellen. Ich habe weiterhin auch Kreise und andere geometrische Primitive, welche aber alle in einem Bereich von 256 x 256 liegen. Ich denke, dass die Funktion nicht achsen- bzw. punktsymmetrisch ist, da die Funktion nicht im Bereich für x und y kleiner 0 definiert ist. Daher sollte sie sich auch nicht in gerade und ungeraden Teil zerlegen lassen, und daher ist auch die Fouriertransformierte nicht symmetrisch.

Mich würden noch andere Meinungen zu dem Problem interessieren. Augenzwinkern

Vielen Dank
FFT_Lover
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie bei eingeschränktem Definitionsbereich
Ich schätze, daß Fouriertransformierte von symmetrischen Rechteckfunktionen in Formelsammlungen und im Internet bekannt sind. Durch eine Faltung mit einer Deltafunktion läßt sich die Rechteckfunktion aus dem Ursprung weg verschieben (Faltungssatz). Vorher würde ich durch Koordinatensubstitution noch die Größe des Rechtecks anpassen.
FFT_Lover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie bei eingeschränktem Definitionsbereich
Die Theorie dazu findet man tatsächlich überall und ich habe mich damit auch schon beschäftigt.

Mir geht es hier jedoch um die direkte Anwendung.

Vielleicht habe ich mich unklar ausgedrückt Hammer

In meinen Problem betrachte ich nur

Daher habe ich keine Informationen über , und daher kann ich auch nicht beweisen, das mein u(x,y) in dem Definitionsbereich symmetrische Eigenschaften besitzt. Diese symmetrische Eigenschaften muss ich wiederlegen/beweisen, da eine Funktion, welche in gerade und ungeraden Teil zerlegt werden kann, eine besondere Fouriertransformierte hat. Um genauer zu sein eine Fouriertransformierte . Also die Matrix der Koeffizienten ist dann eine symmetrische Matrix.

Ich arbeite erst ein paar Monate in dem Bereich, daher kann es sein, dass ich auch falsch liege Hammer Hammer Hammer

Vielen Dank aufjedenfall für den Anstoß der Diskussion!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrie bei eingeschränktem Definitionsbereich
Willkommen im Matheboard!

Wie bei der eindimensionalen Fouriertransformation ergibt eine Verschiebung im Ortsbereich auch hier lediglich eine Phasenänderung im Frequenzbereich. Ich habe mit ImageJ mal zwei Beispiele erstellt.

Zunächst ein schwarzes Bild mit einem weißen Quadrat genau in der Mitte:
[attach]50222[/attach]

Dann ergibt das Betragspektrum dieses Bild:
[attach]50223[/attach]

Trennt man das in Real- und Imaginärteil auf, ergeben sich fast nur reelle Anteile (die Werte im Imaginärbild sind entweder Null oder verhältnismäßig klein):

[attach]50224[/attach][attach]50225[/attach]

Nun wird das weiße Quadrat nach links oben verschoben:

[attach]50226[/attach]

Das Betragsspektrum sieht genauso aus wie vorher:
[attach]50227[/attach]

Nur die Phasen haben sich geändert, was sich beim Vergleich des Real- und Imaginärbildes zeigt:

[attach]50228[/attach] [attach]50229[/attach]

Ich habe das jetzt nicht weiter verfolgt und auch nicht sehr viel Erfahrung mit 2D-FFTs, aber wage zu behaupten, dass eine Asymmetrie im Ortsbereich die Phase der einzelnen Frequenzkomponenten deutlich von Null wegbringt.

Viele Grüße
Steffen
FFT_Lover Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Steffen für die Visualisierung! Gott

Hast du eine Idee wie ich die Symmetrie der Phasenmatrix beschreiben kann?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht meines Erachtens nicht um die Symmetrie der Phasenmatrix, sondern darum, dass deren Komponenten umso kleiner werden, je symmetrischer das Originalbild ist. Im Fall völliger Symmetrie sollte dann die Nullmatrix entstehen. Wie eben bei einem symmetrischen Rechtecksignal, das auch nur Cosinusterme in der Fourierreihe ergibt.

Aber, wie gesagt, das ist nur die Bühlersche Vermutung. Den Beweis überlasse ich dem geneigten Leser als Übung. Augenzwinkern
 
 
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