Matrix kern

15.12.2019, 19:38	Tina123	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix kern Meine Frage: Gegeben ist ein Matrix A= 1 2 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 Ich soll die Basis von Kern A und die Basis von Bild A bestimmen. Die Zweite Frage ist, ob eine Matrix 0!=B Element von R3x3 mit BA =0 existiert. Wie berechnet man das? Meine Ideen: Das Problem bei der ersten Aufgabe ist, dass ich keinen Kern von A finde. Also ich versuchte es bisher als Gleichungssystem zu lösen und drehe mich ab einem bestimmten Punk immer im Kreis und komme zu keiner Lösung...
15.12.2019, 19:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi:\mathbb R^4\to \mathbb R^3, x\mapsto \varphi(x)=Ax \end{eqnarray}$ . Weil 1. und 3. Zeile von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ identisch sind, hat der Kern die Dimension 2 und das Bild nach dem Dimensionssatz die Dimension dim V- dim ker = 4-2=2. Ziehe die 2. Zeile 2 mal von der 1. Zeile ab (Gauß-Algorithmus !), dann kannst du direkt den Kern der Abbildung ablesen. Setze $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , multipliziere $\begin{eqnarray} BA \end{eqnarray}$ , setze $\begin{eqnarray} BA=0 \end{eqnarray}$ und du siehst, was für $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gelten muss.
15.12.2019, 20:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um die Existenz von B geht, muss man nichts rechnen: BA=0 bedeutet, dass $\begin{eqnarray} Bild(A)\subset Kern(B) \end{eqnarray}$ sein muss. Ein Blick auf die Dimensionen der beiden Räume zeigt, dass es ein solches B gibt.

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