Zufallsvariablen und die Addition

16.12.2019, 04:48	Albaba	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen und die Addition Meine Frage: Ich arbeite grade die Vorlesung. Aber ich komme nicht klar weiter mit dieser Aufgabe. Die Aufgabe lautet: Es sind X1 und X2 zwei unabhängige im Intervall (0,1) gleichverteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, die Verteilungsdichte, den Erwartungswert und die Streuung der Zufallsgröße Y=\|X1-X2\|. Meine Ideen: Ich habe danach viel im Internet gesucht aber konnte ich diese Aufgabe leiner nicht lösen. Es gibt in Youtube viele Videos über die Faltung von zwei Zufallsgrößen aber sie haben mir nicht geholfen.
16.12.2019, 09:56	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zufallsvariablen und die Addition Am einfachsten führt eine geometrische Überlegung zum Ziel. Der Bereich für $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ , in dem die Dichten ungleich $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sind, ist ein Quadrat der Seitenlänge $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ unabhängig sein sollen, ist die gemeinsame Dichte der beiden Zufallsgrößen in diesem Quadrat gleich dem Produkt der einzelnen Dichten, also gleich $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich $\begin{eqnarray} (X_1, X_2) \end{eqnarray}$ in einem gewissen Teilbereich des Quadrats befinden, gleich der Fläche dieses Teilbereichs. Die Teilfläche, bei der gilt $\begin{eqnarray} \|X_1-X_2\| \leq y \end{eqnarray}$ liegt zwischen zwei Parallelen zu der Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray} x_1=x_2 \end{eqnarray}$ im Abstand $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Das ist gleich dem Quadrat, bei dem links oben und rechts unten zwei gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke mit der Kathetenlänge $\begin{eqnarray} 1-y \end{eqnarray}$ abgeschnitten sind. Damit ergibt sich die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ im Bereich $\begin{eqnarray} 0\leq y\leq 1 \end{eqnarray}$ zu: $\begin{eqnarray} F_Y(y)= 1-(1-y)^2 \end{eqnarray}$

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