Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen

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Esidm Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Meine Frage:
Hallo allesamt folgende Frage ist bei uns in einer Altklausur vorgekommen und ich hab leider keinen Plan wie ich sie lösen soll.

Die von einer Abfüllmaschine in eine Flasche eingefüllte Flüssigkeitsmenge x kann als normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert = 500 ml und einer Standardabweichung x = 3,4 ml angesehen werden.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft eine Flasche über, die ein Fassungsvermögen von 510 ml besitzt?

b)Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn dass Fassungsvermögen der Flasche ebenfalls eine (von x unabhängige) normalverteilte Zufallsgröße mit einem Erwartungswert von = 510 ml und einer Standardabweichung y = 1,1 ml ist?

Hinweis: Beachten Sie, dass jede Linearkombination (also auch die Summe und die Differenz) von normalverteilten Zufallsgrößen ebenfalls normalverteilt ist und bei Unabhängigkeit der Zufallsgrößen gilt.


Meine Ideen:
Lieder habe ich keinen Plan, ich versuche mich gerade auf die Prüfung vorzubereiten und würde mich über detaillierten Lösungsweg freuen, gerne auch mit Erklärungen für Dumme ^^
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Du brauchst zum Lösen diese Tabelle. Falls dann noch was unklar ist, melde Dich.

Viele Grüße
Steffen
 
 
Esidm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Mal davon abgesehen das ich selbst dann keine Ahnung hätte was ich jetzt machen muss, dürfen wir zur Prüfung keine Hilfsmittel mitnehmen und es wird auch keine Tabelle gegeben sein. Sprich ich muss es irgendwie ohne solche Tabellen lösen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Gut, dann wird wohl verlangt, dass man auswendig weiß, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert im Intervall "Mittelwert plus/minus eine/zwei/drei Standardabweichungen" liegt. Das habt Ihr dann bestimmt mal irgendwann besprochen: es sind 68%/95%/99,7%. Das reicht in der Tat fürs Leben, die Tabelle ist dann nur noch wichtig, wenn es genauer sein soll.

Auf das Beispiel bezogen wird in der Flasche also z.B. mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 496,6ml und 503,4ml drin sein. Klar, oder?

Weiter ist gut zu wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als der Mittelwert drin ist (hier 500ml), exakt 50% beträgt. Daraus kann man folgern, dass mit 84% Wahrscheinlichkeit weniger als 503,4ml drin sind. Auch noch klar?

Prima. Dann kannst Du nun im Kopf ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit weniger als 510ml drin sind, denn das sind ziemlich genau drei Standardabweichungen mehr als der Mittelwert.
Esidm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Zitat:
Gut, dann wird wohl verlangt, dass man auswendig weiß, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert im Intervall "Mittelwert plus/minus eine/zwei/drei Standardabweichungen" liegt. Das habt Ihr dann bestimmt mal irgendwann besprochen: es sind 68%/95%/99,7%. Das reicht in der Tat fürs Leben, die Tabelle ist dann nur noch wichtig, wenn es genauer sein soll.

Auf das Beispiel bezogen wird in der Flasche also z.B. mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 496,6ml und 503,4ml drin sein. Klar, oder?


Klar soweit, da meine Standardabweichung rund eins ist, genauer wäre es 0,68 was laut Tabelle exakt 0,75175 sind richtig?


Zitat:
Daraus kann man folgern, dass mit 84% Wahrscheinlichkeit weniger als 503,4ml drin sind. Auch noch klar?


Leider nein. Sorry

Gibts dafür denn keine Formeln die anwendbar sind. Unser Prof legt sehr viel Wert auf Rechenwege etc mit aus Tabellen ablesen oder Kopfrechnen, stößt man bei ihm immer auf Widerstand.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Zitat:
Original von Esidm
Zitat:

Auf das Beispiel bezogen wird in der Flasche also z.B. mit 68% Wahrscheinlichkeit zwischen 496,6ml und 503,4ml drin sein. Klar, oder?


Klar soweit, da meine Standardabweichung rund eins ist, genauer wäre es 0,68 was laut Tabelle exakt 0,75175 sind richtig?

Nein, leider noch nicht ganz.

Die Standardabweichung ist weder 0,68 noch 1,0, sondern hier im Beispiel 3,4 Milliliter.

Und dann muss man sich einfach merken, dass ein zufällig ausgewählter Wert aus einer Normalverteilung mit 68 Prozent im Bereich Mittelwert plus/minus eine Standardabweichung liegt, hier also zwischen 500ml-3,4ml=496,6ml und 500ml+3,4ml=503,4ml.

Zitat:
Original von Esidm
Zitat:
Daraus kann man folgern, dass mit 84% Wahrscheinlichkeit weniger als 503,4ml drin sind. Auch noch klar?


Leider nein. Sorry


Nicht schlimm. Stell Dir die Gaußkurve mal vor. Am besten mach Dir eine Skizze.

Es geht um die Fläche darunter, die insgesamt 100 Prozent ist. Die linke Hälfte ist also 50% und die rechte auch.

Die besagten 68 Prozent teilen sich dann auf in 34 Prozent links vom Mittelwert und 34 Prozent rechts. Zeichne die mal ungefähr ein.

Nun siehst Du, dass diese Fläche und alles links davon zusammen 84 Prozent sind. Denn 50%+34%=84%.

Zitat:
Original von Esidm
Gibts dafür denn keine Formeln die anwendbar sind.


Klar, die stehen im verlinkten Wiki-Artikel. Aber da Du dieses Integral nur über die Tabelle oder Taschenrechner lösen kannst, kommst Du so nicht weiter, denn das ist ja anscheinend verboten. Also musst Du diesen "Rechenweg" einschlagen. Denn einfach hinzuschreiben, das wird Euer Professor auch nicht akzeptieren.
Esidm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Ok also wenn ich das jetzt richtig verstanden, liegt die Wahrscheinlichkeit das die Flasche überläuft bei 0,3% da drei Standardabweichungen 99,7% sind und davon die Gegenwahrscheinlichkeit?


Und zu der Tabelle nochmal wir haben im Skript folgende Formel:


wenn ich die benutze komme ich auf:


Dürfte ich denn das jetzt in so einer Tabelle nachschauen? Und falls ja wäre das ja rund 0,99836 richtig? Sprich die Gegenwahrscheinlichkeit davon dann 0,00164
Also wäre die tatsächliche Wk das die Flasche überläuft bei 0,164% oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Zu den 0,3%: das ist etwas zuviel, denn die 99,7% sind ja "nur" die Fläche links und rechts vom Mittelwert. Die verbleibenden 0,3% beschreiben dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert noch kleiner als die linke Grenze oder noch größer als die rechte Grenze ist. Du willst aber nur den Fall "größer als rechte Grenze" wissen, das ist dann die verbleibende Fläche neben dieser rechten Grenze. Also die Hälfte von 0,3%.

Das hast Du mit dem genaueren Wert der Tabelle ja auch nun bestätigt. Ob die nun erlaubt ist oder nicht, kann ich Dir nicht sagen.

Da Du aber so sicher bist, dass keine Tabelle benutzt werden darf, habe ich Dir gezeigt, wie es ohne geht, eben mit der "68-95-99,7-Formel". Ich bin kein Lehrer, aber wenn ich einer wäre, würde ich es vielleicht auch so machen, denn als Ingenieur wirst Du später auch immer wieder schnell im Kopf überschlagen müssen, ob was überläuft oder nicht. Dieses Denken muss geschult werden.

Gut, nun zum zweiten Teil. Wir wissen nun, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 510ml reinkommen. Nun haben wir Flaschenvolumen, die um diesen Wert normalverteilt sind. Wieviel Prozent dieser Flaschen haben also weniger als 510ml?
Esidm Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeit Überfüllung von Flaschen
Zitat:
Zu den 0,3%: das ist etwas zuviel, denn die 99,7% sind ja "nur" die Fläche links und rechts vom Mittelwert. Die verbleibenden 0,3% beschreiben dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert noch kleiner als die linke Grenze oder noch größer als die rechte Grenze ist. Du willst aber nur den Fall "größer als rechte Grenze" wissen, das ist dann die verbleibende Fläche neben dieser rechten Grenze. Also die Hälfte von 0,3%.


Klar. Denkfehler meinerseits.


Zitat:
Gut, nun zum zweiten Teil. Wir wissen nun, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als 510ml reinkommen. Nun haben wir Flaschenvolumen, die um diesen Wert normalverteilt sind. Wieviel Prozent dieser Flaschen haben also weniger als 510ml?


50% haben weniger als 510

Die Frage war ja nun aber wie die Ursprüngliche Wk sich verändert. Meine Idee wäre jetzt da ja eine Standardabweichung der Füllmenge(Flüssigkeit) in etwa 3 Standardabweichungen der Flasche entspricht, kann man davon ausgehen das die Chance das die Flasche weniger Fassungsvermögen als 2 Standardabweichungen der Flüssigkeit entspricht verschwindend gering ist.

Sprich die Chance das die Flasche mehr als 513,3 oder weniger als 506,7 ml fasst ist sehr gering. Da die Flüssigkeit bei 2 Standardabweichungen bei 506,8 wäre haben wir also eine 2,5%ige Chance das die Flüssigkeit über 506,8 liegt. Diese verteilt sich nun aber auf die 68-95-99,7 Chancen das die Flasche tatsächlich weniger Fasungsvermögen hat.

Die Chance das die Flasche mehr als 510,2 ml befüllt wird ist hingegen sehr gering (die 0,15%), wobei die Chance das die Flasche mehr fasst auch wieder verteilt auf die 3 Abweichungen ist.

Da die Chance nun höher ist das die Flasche zwischen 2 und 3 Standardabweichungen befüllt wird als das sie mehr als 3 Standardabweichungen befüllt wird. und die Chance des Fassngsvermögen auf beiden Seiten gleich ist, sollte sie öfter überlaufen, sprich die Chance steigen. Ein genauer wert wäre aber nur sehr komplex zu berechnen oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, eigentlich geht es nur um die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 510ml reinkommen und die Flasche weniger fasst. Die beiden unabhängigen Einzelwahrscheinlichkeiten sind bekannt, also...

PS: Wenn ich allerdings den Hinweis lese, könnte man auch die normalverteilte Füllmenge von dem normalverteilten Flaschenvolumen subtrahieren. Dabei addieren sich bekanntlicherweise die Varianzen und es entsteht eine Normalverteilung um den Mittelwert 10ml. Hier muss dann der Anteil der negativen Werte bestimmt werden. Aber da braucht man schon wieder die verbotene Tabelle...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeit einer überlaufenden Flasche
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