Divergenz beweisen

18.12.2019, 18:05	Partialsumme	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz beweisen Meine Frage: Guten Tag ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe. Nämlich habe ich folgende Reihe gegeben und ich soll deren Divergenz beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (e-(1+\frac{1}{n})^{n}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun ich habe folgendes gemacht: Wurzelkriterium angewendet und folgendes bekommen: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{e+(1+\frac{1}{n})^{n} } \end{eqnarray}$ Dann wie folgt umgeformt: $\begin{eqnarray} = (e+(1+\frac{1}{n})^{n})^{1/n} = e^{\frac{1}{n} }+1+\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Und dann den Limes berechnet: \lim_{n \to \infty } e^{\frac{1}{n} }+1+\frac{1}{n} = 1+1+0= 2 > 1 Und daraus folgt, dass die Reihe divergiert? Kann man da so machen? MFG
18.12.2019, 18:09	G181219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz beweisen Deine Umformung ist falsch. Aus Differenzen kann man keine Teilwurzeln ziehen.
18.12.2019, 18:12	G181219	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz beweisen PS: (1+1/n)^n hat den Grenzwert e !
18.12.2019, 18:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schlicht den Binomischen Satz anwenden und die meisten Summanden geeignet abschätzen: Für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} < 1 + 1 + \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n}\right) + \sum_{k=3}^n \frac{1}{k!} < e - \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n > \frac{1}{2n} \end{eqnarray}$ . Und dann natürlich Minorantenkriterium.
19.12.2019, 07:43	Partialsumme	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dankeschön. Ja das (1+1/n)^n den Grenzwert e hatte wusste ich natürlich, dachte man könnte das so umgehen. @HAL Ein Frage: Wie kommst du mit dem binomischen Lehrsatz auf das 1/n^k in der ersten Summe? MFG
19.12.2019, 08:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann mal ganz, ganz, ganz langsam: Der Binomische Satz lautet $\begin{eqnarray} \left(a+b\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^kb^{n-k} \end{eqnarray}$ . Nutzt man das für $\begin{eqnarray} a=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ , so steht da $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\left(\frac{1}{n}\right)^k 1^{n-k} \end{eqnarray}$ . Und es ist nun mal $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{n}\right)^k = \frac{1^k}{n^k} = \frac{1}{n^k} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 1^{n-k}=1 \end{eqnarray}$ .
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