Kugeln verteilen

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Kugelfisch Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln verteilen
Meine Frage:
Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 unterscheidbare Kugeln auf 3 unterscheidbare Urnen zu verteilen? Erlaubt sind auch eine oder zwei leere Urnen.

Meine Ideen:
Wie gehe ich diese Aufgabe am besten an?
Welche Formeln nimmt man hier.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus einer Grundmenge von 3 Urnen wird 6-mal ausgewählt, und zwar mit Zurücklegen (denn pro Urne können mehrere Kugeln zugeordnet werden) und mit Auswahlreihenfolge (weil die Kugeln unterscheidbar sind).

Das ist eine kombinatorische Grundsituation, die du kennengelernt haben solltest.
Kugelfisch Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln verteilen
Sorry, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Ich finde keinen Ansatz.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Oder per Hand:

006---- 1x1x1
015---- 1x6x1
024---- 1x(2 aus 6)x1
033---- 1x(3 aus 6)x1
042
051
060---- 1x1x1

105---- 6x1x(5 aus 6)
114
123---- 6x(2 aus 5)x1
132
141
150---- 6x1x1

204
213
222---- (2 aus 6)x(2 aus 4)x1
231
240---- (2 aus 6)x1x1

303
312
321---- (3 aus 6)x(2 aus 3)x6
330

402---- (4 aus 6)x1x1
411
420

501---- (5 aus 6)x1x1
510

600
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kugelfisch
Ich finde keinen Ansatz.

Witzig, sehr witzig ... den Ansatz habe ich doch gerade genannt! Du solltest jetzt lediglich noch die zugehörige Formel raussuchen, aber scheinbar willst du nicht.

Kurzum: Es geht um Variationen (wg. der Reihenfolge) mit Wiederholung, ergibt Anzahl .
Kugelfisch Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln verteilen
Danke, aber warum 3^6?
Das kommt mir zu einfach vor. Was meinst du mit Wiederholung? Ich kann jede Kugel doch
nur einmal in eine der Urnen legen.
Könntest du mir deine Überlegung bitte genauer erklären? verwirrt
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kugelfisch
Danke, aber warum 3^6? Das kommt mir zu einfach vor.

Prima Erklärung, es nicht zu nehmen. Finger1

Zitat:
Original von Kugelfisch
Was meinst du mit Wiederholung? Ich kann jede Kugel doch nur einmal in eine der Urnen legen.

Ich hab doch oben schon genau erklärt, was ich mit Wiederholung bzw. mit Zurücklegen meine! Vielleicht liest und durchdenkst du das einfach auch mal! Forum Kloppe

Zitat:
Original von HAL 9000
Aus einer Grundmenge von 3 Urnen wird 6-mal ausgewählt, und zwar mit Zurücklegen (denn pro Urne können mehrere Kugeln zugeordnet werden) und mit Auswahlreihenfolge (weil die Kugeln unterscheidbar sind).
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Dem Fragesteller ist/war ein gewisses Unbehagen anzumerken. Er meinte wahrscheinlich nicht das zeitliche Protokoll der Befüllung sondern eher die Anzahl der möglichen Endzustände sprich: ein Urneninhalt ist eine Teilmenge von {a,b,c,d,e,f}.
War auch mein Gedanke und deshalb:


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
Kugeln 
in
Urne
ABC-------Formel----------Anzahl

006---- 1x1x1---------------1
015---- 1x6x1---------------6
024---- 1x(2 aus 6)x1------15 
033---- 1x(3 aus 6)x1------20
042-----1x(4 aus 6)x1------15
051-----1x(5 aus 6)x1-------6
060---- 1x1x1---------------1
============================================ 64
105---- 6x1x(5 aus 6)--------6
114-----6x5x1---------------30
123---- 6x(2 aus 5)x1-------10
132-----6x(3 aus 5) x1------10
141-----6x(4 aus 5)x1-------30
150---- 6x1x1----------------6
============================================ 92
204-----(2 aus 6)x1x1-------------15
213-----(2 aus 6)x4x1-------------60
222---- (2 aus 6)x4x1-------------60
231-----(2 aus 6)x4x1-------------60
240---- (2 aus 6)x1x1-------------15 
============================================ 205
303-----(3 aus 6)x1x1-------------20
312-----(3 aus 6)x3x1-------------60
321---- (3 aus 6)x3x1-------------60
330-----(3 aus 6)x1x1-------------20
============================================ 160
402---- (4 aus 6)x1x1 ------------15
411------(4 aus 6)x2x1------------30
420----- (4 aus 6)x1x1------------15
============================================== 60
501---- (5 aus 6)x1x1-------------6
510----- 6x1x1--------------------6
============================================== 12
600-----1x1x1-------------------- 1
=============================================== 1

========================Summe=================594

das ist deutlich komplizierter als 3^6 ( siehe oben); eine Formel seh' ich da nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Er meinte wahrscheinlich nicht das zeitliche Protokoll der Befüllung sondern eher die Anzahl der möglichen Endzustände

Die Betrachtung von "ununterscheidbaren Kugeln mit Berücksichtigung der Reihenfolge" sowie "unterscheidbaren Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" ist anzahlmäßig äquivalent: Man numeriert in letzterem Modell vorab die Kugeln mit 1..6 durch, und identifiziert dann diese Nummer per Bijektion mit der Ziehungsnummer im ersten Modell. Ich hatte angenommen, dass das soweit klar ist, aber das ist vielleicht dann doch nicht bei jedem der Fall.



Ach ja, deine Rechnung: Die enthält desaströse Fehler, hier die korrigierte Version

Zitat:

Kugeln
in
Urne
ABC-------Formel----------Anzahl

006---- 1x1x1---------------1
015---- 1x6x1---------------6
024---- 1x(2 aus 6)x1------15
033---- 1x(3 aus 6)x1------20
042-----1x(4 aus 6)x1------15
051-----1x(5 aus 6)x1-------6
060---- 1x1x1---------------1
============================================ 64
105---- 6x1x(5 aus 6)--------6
114-----6x5x1---------------30
123---- 6x(2 aus 5)x1-------60
132-----6x(3 aus 5) x1------60
141-----6x(4 aus 5)x1-------30
150---- 6x1x1----------------6
============================================ 192
204-----(2 aus 6)x1x1-------------15
213-----(2 aus 6)x4x1-------------60
222---- (2 aus 6)x(2 aus 4)x1---90
231-----(2 aus 6)x4x1-------------60
240---- (2 aus 6)x1x1-------------15
============================================ 240
303-----(3 aus 6)x1x1-------------20
312-----(3 aus 6)x3x1-------------60
321---- (3 aus 6)x3x1-------------60
330-----(3 aus 6)x1x1-------------20
============================================ 160
402---- (4 aus 6)x1x1 ------------15
411------(4 aus 6)x2x1------------30
420----- (4 aus 6)x1x1------------15
============================================== 60
501---- (5 aus 6)x1x1-------------6
510----- 6x1x1--------------------6
============================================== 12
600-----1x1x1-------------------- 1
=============================================== 1

========================Summe=================729

Die Zwischensummen 64,192,240,160,60,12,1 entsprechen übrigens für , was auch kein Wunder ist, wenn man gemäß Binomischen Satz entwickelt. Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

o.k.
da bin ich anscheinend etwas in der langen Liste beim tippen und rechnen unaufmerksam geworden..
Tut mir leid, ist aber hoffentlich verständlich.

Schön wenn sich das ganze in Nebel auflöst, diese lange Version könnte aber vom Verständnis her betrachtet ein Zugewinn sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man die Multinomialkoeffizienten in der Summe



einzeln berechnet und summiert, gewinnt man zumindest an Erfahrung und Erkenntnis.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern

Ich würde es zum Erklären so versuchen:

Die sechs Kugeln werden immer in der Reihenfolge a,b,c,d,e,f von den 3 Urnen A,B,C
6 fach gewählt. zum Beispiel 3 mal A, 2 mal B, 1 mal C:

abcdef
AAABBC

abcdef
ACAABB

abcdef
ABAACB

abcdef
CBAAAB

...
Dieses Beispiel hätte Einträge.

Letztendlich entstehen alle möglichen Worte aus dem Alphabet {A;B;C} der Länge 6

und davon gibt es bekanntermaßen 3^6 Stück.
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeln verteilen
@kugelfisch

sieh s mal so: du nimmst die erste kugel. wieviele möglichkeiten hast du? antwort: 3
weil du die kugel in urne 1 oder urne 2 oder urne 3 legen kannst. soweit klar?

das ganze gilt für jede weitere der sechs kugeln.

3 mal 3 mal 3 mal 3 mal 3 mal 3 ergibt 3 hoch 6 möglichkeiten wie hal auch schon sagte.

ich gebe zu dass es bei diesen 'anzahl der möglichkeiten' aufgaben oft fälle gibt, wo die menschliche vorstellungskraft strapaziert wird, aber dieser fall ist keiner von den extrem schwierigen ..

andy
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