Gleichmäßige Stetigkeit von g: natürlichen Zahlen -> reelle Zahlen

19.12.2019, 18:03	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit von g: natürlichen Zahlen -> reelle Zahlen Meine Frage: Guten Abend, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe: "Zeigen Sie, dass eine Funktion g : N -> R gleichmäßig stetig ist. Ist eine Funktion h: Q -> R ebenfalls gleichmäßig stetig? Begründen Sie Ihre Antwort." Viele Grüße Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee, wie ich diese Aufgaben lösen soll.
19.12.2019, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle $\begin{eqnarray} \delta=\frac 1 2 \end{eqnarray}$ in der Definition https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichmäßige_Stetigkeit , und der Drops ist gelutscht. Die Aufgabe ist übrigens ganz schlecht formuliert, es sollte nicht um eine sondern um alle reellwertigen Funktionen auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ gehen.
19.12.2019, 18:26	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Reicht es also bei der glm. Stetigkeit, die Definition etwas umzuschreiben und zu sagen, dass N eine Teilmenge von R ist und bei Q->R Delta=1/2 zu setzen?
19.12.2019, 19:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast die Definition nicht gelesen und mich nicht verstanden. Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb N\to \mathbb R, n\to f(n) \end{eqnarray}$ eine beliebige Funktion. Sei $\begin{eqnarray} \epsilon >0, n_0\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|n-n_0\|<\delta=\frac 1 2 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} n=n_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f(n)-f(n_0)\|=0<\epsilon \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig. Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ beliebig gewählt war, ist jede Funktion von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig. qed. Und jetzt du für $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$
19.12.2019, 19:16	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich dich falsch verstanden. Vielen Dank!
19.12.2019, 19:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke genügt nicht. Du musst den Beweis verstehen und die Frage für Funktionen beantworten, die auf den rationalen Zahlen definiert sind.
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19.12.2019, 19:54	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe ihn mit Hilfe deiner Antwort nachvollziehen können und auch verstanden.
19.12.2019, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Was ist mit $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ?
19.12.2019, 20:04	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Da laut der Aufgabenstellung nur eine Begründung benötigt wird, würde ich es damit begründen, dass Q genauso wie N eine Teilmenge von R ist und es deswegen analog gilt. Oder ist das zu schwammig?
19.12.2019, 21:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht schwammig, das ist falsch. Es zeigt deutlich, dass du die Definition noch nicht verstanden hast, und dass du meinen Beweis noch nicht verstanden hast. Vorschlag : Studiere die Definition, studiere meinen Beweis. Denke so lange darüber nach bis du beides wirklich verstanden hast. In der Mathematik kann man nicht so tun als ob man etwas verstanden hätte wenn es nicht so ist.

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