Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante, Monotonie zeigen

19.12.2019, 19:27	RobinPan	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante, Monotonie zeigen Guten Abend, kann mir bitte jemand bei folgenden Aufgaben weiterhelfen? Meine Ideen: Bei Teilaufgabe a) ersetze ich g in der Definition von Monotonie und nutze die Lipschitzbedingung aus, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich dann weitermachen soll, oder bin ich damit schon fertig? Bei b-d) habe ich leider keine konkrete Idee. Viele Grüße
20.12.2019, 23:08	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante, Monotonie zeigen Zu a) Daß die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{f(x)+Lx}{1+L} \end{eqnarray}$ monoton wächst, ist gleichbedeutend mit: Aus $\begin{eqnarray} x_1 < x_2 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} g(x_1) \le g(x_2) \end{eqnarray}$ oder anders formuliert, aus $\begin{eqnarray} x_2-x_1>0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} g(x_2)-g(x_1)\ge 0 \end{eqnarray}$ . Dann bilden wir mal: $\begin{eqnarray} g(x_2)-g(x_1)=\frac{f(x_2)+Lx_2}{1+L}-\frac{f(x_1)+Lx_1}{1+L}=\frac{f(x_2)-f(x_1)+L(x_2-x_1)}{1+L} \end{eqnarray}$ Lipschitzstetigkeit für f(x) bedeutet aber $\begin{eqnarray} \|f(x_2)-f(x_1)\|\le L\|x_2-x_1\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L\ge 0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x_2-x_1>0 \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} -L(x_2-x_1)\le f(x_2)-f(x_1)\le L(x_2-x_1) \end{eqnarray}$ . Der linke Teil der rechten Ungleichung läßt sich umformen zu $\begin{eqnarray} 0\le f(x_2)-f(x_1)+L(x_2-x_1) \end{eqnarray}$ und bedeutet $\begin{eqnarray} g(x_2)-g(x_1)\ge 0 \end{eqnarray}$ . Also gilt, daß aus $\begin{eqnarray} x_2 > x_1 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} g(x_2)\ge g(x_1) \end{eqnarray}$ folgt. Letzteres bedeutet, daß die Funktion $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in [0,1] \end{eqnarray}$ monoton steigt.
21.12.2019, 06:42	Ulrich Ruhnau	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante, Monotonie zeigen zu c) Vollständige Induktion $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ : Fallunterscheidung 1. Fall $\begin{eqnarray} x_0 \le x_1 \end{eqnarray}$ 2. Fall $\begin{eqnarray} x_0 \ge x_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \ge 0 \end{eqnarray}$ : Daß g(x) monoton steigt (siehe Aufgabenteil a), bedeutet im 1. Fall: Aus $\begin{eqnarray} x_n \le x_{n+1} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} g(x_n)\le g(x_{n+1}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_{n+1}\le x_{n+2} \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ steigt monoton. 2. Fall: Aus $\begin{eqnarray} x_n \ge x_{n+1} \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} g(x_n)\ge g(x_{n+1}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} x_{n+1}\ge x_{n+2} \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ fällt monoton.

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