Einfache Vorweihnachtsaufgabe :-)

20.12.2019, 07:59

PhyMaLehrer

Einfache Vorweihnachtsaufgabe :-)

Meine Frage:
Dies ist tatsächlich eine Aufgabe aus der Praxis :-) !
Neulich brachte jemand auf meiner Arbeitsstelle ein weihnachtlich dekoriertes Gebäckstück mit zum Frühstück. Es hatte die Form eines gleichschenkeligen Dreiecks. Nun sollte es unter uns vier Personen aufgeteilt werden. Beim Zugreifen zögerte ich etwas, denn mein Teil war deutlich mehr als ein Viertel. Aber es hieß, ich sollte einfach froh sein, ein großes Stück bekommen zu haben... :-)
Nun habe ich mir aber folgendes überlegt:
Das Gebäckstück soll gerecht, also in vier gleichgroße Teile geteilt werden. Dazu wird ein Schnitt entlang der Symmetrieachse geführt, ein zweiter parallel zur Grundseite.

Meine Ideen:
Der erste Schnitt teilt das Dreieck schon mal in zwei gleichgroße rechtwinkelige Dreicke mit den Seiten g und h.
Wie groß muß aber h1 sein, damit der Schnitt s parallel zu g das (Teil-) Dreieck in zwei gleichgroße Teile teilt?

20.12.2019, 08:56

Steffen Bühler

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Eine hübsche Fragestellung, und der Strahlensatz passt ja auch in den Advent, oder nicht?

Schon mal schöne Weihnachten Euch allen!

Viele Grüße
Steffen

20.12.2019, 13:48

mYthos

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Da das große Dreieck eine doppelt so große Fläche hat wie das kleine, müssen sich deren Seiten (anstatt wie 2 : 1) wie ... verhalten.
Ohne weitere Rechnung.

[Bemerkung: Mittels Trapez und Dreieck ergibt sich natürlich das gleiche Resultat]

Ebenfalls allen schöne Feiertage und ein gutes neues Jahr!

mY+

20.12.2019, 13:53

klauss

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RE: Einfache Vorweihnachtsaufgabe :-)
Erinnert mich irgendwie hieran.

20.12.2019, 15:50

Steffen Bühler

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RE: Einfache Vorweihnachtsaufgabe :-)
Geht übrigens auch ohne Geometrie:

$\begin{eqnarray*} \int_0^z ax \ dx = \frac 12 \int_0^1 ax \ dx \to z= \dots \end{eqnarray*}$

20.12.2019, 16:59

Leopold

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[attach]50243[/attach]

Links gleich hohe, rechts kongruente Teilstücke. Der Phanasie sind ja (fast) keine Grenzen gesetzt.

23.12.2019, 18:21

PhyMaLehrer

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Damit aus der Vorweihnachts-Aufgabe keine Weihnachts-Aufgabe wird, die Hausaufgaben erledigt sind und der Weihnachtsmann zufrieden ist, möchte ich hier noch die Lösung bringen. (Die Lösung von Leopold liefert natürlich auch vier gleichgroße Teile, aber nicht im Sinne der Aufgabenstellung.)

Nach dem Strahlensatz oder auch wegen der Ähnlichkeit von Dreiecken gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{h_1}{h} = \frac{g_1}{g} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_1 = \frac{h_1 \cdot g}{h} \end{eqnarray*}$

Das kleine Dreieck soll die Hälfte des großen Dreiecks sein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot h_1\cdot g_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\cdot h\cdot g \end{eqnarray*}$

Der Term aus der zweiten Gleichung für g1 eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{ h_1^{2} \cdot g}{h} =\frac{1}{4} \cdot h\cdot g \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten durch g dividiert und mit h multipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot h_1^{2} = \frac{1}{4} \cdot h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_1^{2} = \frac{1}{2} \cdot h^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_1 = \sqrt{\frac{1}{2}\cdot h^2} = \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot h = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot h \approx 0,707 \cdot h \end{eqnarray*}$

23.12.2019, 18:46

Leopold

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RE: Einfache Vorweihnachtsaufgabe :-)
Ich hätte es einfach so gemacht: Durch Parallelschnitt zur Basis wird ein zum gesamten Dreieck ähnliches Dreieck abgeschnitten. Da es halb so groß sein soll wie jenes, muß für den Streckfaktor $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ gelten: $\begin{align*} \lambda^2 = \frac{1}{2} \end{align*}$ , also $\begin{align*} \lambda = \sqrt{\frac{1}{2}} \end{align*}$ , womit alles geklärt ist.

Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Nun habe ich mir aber folgendes überlegt:
Das Gebäckstück soll gerecht, also in vier gleichgroße Teile geteilt werden. Dazu wird ein Schnitt entlang der Symmetrieachse geführt, ein zweiter parallel zur Grundseite.

Bei dieser Formulierung war mir nicht klar, ob der zweite Satz noch zur Aufgabe gehört oder schon einen geeigneten Lösungsansatz darstellt. Daher meine alternativen Vorschläge.

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