Fourier Transformation mit Rechenregeln

21.12.2019, 16:32

KonverDiv

Fourier Transformation mit Rechenregeln

Hallo,

ich möchte die FT dieses Signals berechnen:

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-2(t-2)}\cdot u(t-4) \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe des Integrals bin ich auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} X(j\omega) =\frac{e^{-4j\omega-4}}{j\omega +2} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nun folgendes: Ich würde das auch gerne einmal mit den Rechenregeln versuchen, die in den Tabellen zur FT stehen. Ich denke da z.B. an die Time-Shifting Eigenschaft.

Irgendwie scheint das bei mir aber nicht zu klappen, Ziel ist denke ich, auf eine solche Form zu kommen:

$\begin{eqnarray*} x(t) = e^{-at}u(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(j\omega) = \frac{1}{a+j\omega} \end{eqnarray*}$

Ich würde mich freuen, falls mir Jemand weiterhelfen könnte smile

21.12.2019, 22:35

Ulrich Ruhnau

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RE: Fourier Transformation mit Rechenregeln

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2t}\,u(t)\,e^{-i\omega t}dt \end{eqnarray*}$

Jetzt kapiere ich erst, was Du mit $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ meinst. Du die meinst die sogenannte Sprungfunktion. Die schreibt man aber anders:

$\begin{eqnarray*} \Theta(t)=\begin{cases}1 :\quad x \ge 0\\ 0:\quad y < 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ was auch als Heaviside-Funktion bekannt ist.

Mit u(t) = \Theta (t) kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2t}\,\Theta(t)\,e^{-i\omega t}dt=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{0}^{\infty } \!\!\,e^{(-i\omega -2)t}dt=\left. \frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} (-i\omega-2) } e^{(-i\omega -2)t}\, \right|_0^\infty=\frac{e^{-4-4i\omega}}{ (2+i\omega)\sqrt{2\pi} } \end{eqnarray*}$

22.12.2019, 09:35

KonverDiv

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RE: Fourier Transformation mit Rechenregeln
Hey danke für deine Antwort! Ich habe kurz nach Absenden meiner Frage hier eine Lösung gefunden. Im Prinzip musste man "nur" den Exponent der E-Funktion etwas umschreiben, dann gehts. Bzw. dann war es möglich mit der Tabelle und den Korrespondenzen zu arbeiten smile

Aber zu deiner Lösung habe ich auch noch eine Frage, denn händisch habe ich das etwas anders. Ich habe die Integralgrenzen direkt angepasst, da die Sprungfunktion ab der Stelle 4 auf der t Achse beginnt, man dann also von 4 bis +infty integriert. Aber zurück zu der Frage die ich eigentlich stellen wollte: dieser Schritt in deiner Rechnung wo du das u(t-4) zu u(t) umformst (Schritt 3 auf 4), das ist für mich nicht ganz ersichtlich, was du da gemacht hast, kannst du das näher erklären?

22.12.2019, 22:22

Ulrich Ruhnau

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RE: Fourier Transformation mit Rechenregeln

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
$\begin{eqnarray*} X(\omega) =\frac{e^4}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2t}\,u(t-4)\,e^{-i\omega t}dt<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(\omega) =\frac{e^4}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2(t+4)}\,u(t)\,e^{-i\omega (t+4)}dt \end{eqnarray*}$

Um diesen Schritt geht es also. Ich substituiere hier $\begin{eqnarray*} t_{alt}=t_{neu}+4 \end{eqnarray*}$ b.zw. $\begin{eqnarray*} dt_{alt}=dt_{neu} \end{eqnarray*}$
Wenn man zu etwas unendlichem etwas endliches addiert, bleibt es unendlich.
Was den Rest der Rechnung anbelangt hoffe ich, mich nicht um eine Konstante geirrt zu haben. Was hast Du denn raus?

24.12.2019, 10:15

KonverDiv

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RE: Fourier Transformation mit Rechenregeln
Danke für deine Ausführungen hierzu. Aber was ist die Motivation dieser Substitution, weil wie ich das sehe, hast du damit nur gewonnen, dass dort jetzt die reguläre und nicht verschobene Sprungfunktion steht.

Anstelle deiner Substitution, habe ich einfach die Integralgrenzen angepasst, da u(t-4) ja eine verschobene Sprungfunktion ist.

Ich komme damit auch auf das richtige Ergebnis smile

25.12.2019, 10:33

Ulrich Ruhnau

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RE: Fourier Transformation mit Rechenregeln

Zitat:

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2t}\,u(t)\,e^{-i\omega t}dt \end{eqnarray*}$

Jetzt kapiere ich erst, was Du mit $\begin{eqnarray*} u(t) \end{eqnarray*}$ meinst. Du meinst die sogenannte Sprungfunktion. Die schreibt man aber anders:

$\begin{eqnarray*} \Theta(t)=\begin{cases}1 :\quad x \ge 0\\ 0:\quad y < 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ was auch als Heaviside-Funktion bekannt ist.

Mit $\begin{eqnarray*} u(t) = \Theta (t) \end{eqnarray*}$ kommen wir auf

$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{-\infty }^{\infty } \! e^{-2t}\,\Theta(t)\,e^{-i\omega t}dt=\frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} } \int_\limits{0}^{\infty } \!\!\,e^{(-i\omega -2)t}dt=\left. \frac{e^{-4-4i\omega}}{\sqrt{2\pi} (-i\omega-2) } e^{(-i\omega -2)t}\, \right|_0^\infty=\frac{e^{-4-4i\omega}}{ (2+i\omega)\sqrt{2\pi} } \end{eqnarray*}$

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