Grad der Körpererweiterung

Neue Frage »

21.12.2019, 17:40	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad der Körpererweiterung Meine Frage: Hallo, ich bohre an diesem Brett, das da heißt, den Grad des Zerfällungskörpers von $\begin{eqnarray} P=X^3-2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Meine Ideen: Die Nullstellen des Polynoms sind $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2}e^{\frac{\mathrm{i}}{6}\pi } \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2}e^{\frac{\mathrm{i}}{3}\pi } \end{eqnarray}$ . Dann müsste $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{2},\, \sqrt[3]{2}e^{\frac{\mathrm{i}}{6}\pi }) \end{eqnarray}$ bzw. passender $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{2},\, e^{\frac{\mathrm{i}}{6}\pi }) \end{eqnarray}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein. $\begin{eqnarray} X^3-2 \end{eqnarray}$ müsste, da keine rationalen Nullstellen, das Minipol von $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sein. Und $\begin{eqnarray} X^2+X+1 \end{eqnarray}$ das Minipol von $\begin{eqnarray} e^{\frac{\mathrm{i}}{6}\pi } \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ , also insgesamt Grad 6? Wie gehe ich bei $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ vor?
21.12.2019, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^3-2 \end{eqnarray}$ hat eine 3-fache Nullstelle in $\begin{eqnarray} \mathbb F_3 \end{eqnarray}$ . "Schneller" kann ein Polynom nicht zerfallen.
21.12.2019, 21:46	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, tatsächlich, dreimal die $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ... Dann habe ich also keine echte Körpererweiterung und ihr Grad ist damit 1?
21.12.2019, 22:05	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre das dann z.B. bei $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ ? Egal, welche Zahl 0, 1, ..., 6 ich einsetze, es kommt nie Rest 0 raus.
21.12.2019, 22:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom vom Grad 3 ohne Nullstelle ist irreduzibel. Adjungiere eine Nullstelle und du hast einen Körper mit 343 Elementen.
22.12.2019, 00:02	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, du musst mir noch mehr auf die Sprünge helfen.
Anzeige

22.12.2019, 11:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man eine Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad n adjungiert, so erhält man einen Erweiterungskoerper, der ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Grundkoerper ist. Über F7 hat ein 3-dimensionaler Vektorraum 7 hoch 3 =343 Elemente. Das ist "der" Körper F343.
22.12.2019, 14:31	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay... Also das Polynom $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ -irreduzibel. Wenn $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ z.B. $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ adjungiert, so bildet $\begin{eqnarray} \{ 1, \sqrt[3]{2},\left(\sqrt[3]{2}\right)^2\} \end{eqnarray}$ eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb F_7(\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ von Grad 3?
22.12.2019, 14:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und dieser Vektorraum ist ein Körper.
22.12.2019, 19:45	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe. Ich fürchte aber, ich stehe auf dem Schlauch. Eigentlich haben wir doch denselben Fall wie bei $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , oder? Dort war $\begin{eqnarray} P=X^3-2 \end{eqnarray}$ auch irreduzibel. Ist dann $\begin{eqnarray} \mathbb F_7(\sqrt[3]{2},\, \sqrt[3]{2}e^{i\frac{\mathrm{2}}{3}\pi }) \end{eqnarray}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ ?
22.12.2019, 20:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
i als Wurzel aus - 1 kann ich mir auch über endlichen Körpern vorstellen, aber dass e oder pi dort sinnvoll ist, kann ich nicht glauben.
22.12.2019, 21:55	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, so blöd kann ich doch nicht sein, dass ich das nicht verstehe . Ich kann leider keine Links posten. Das winzige Kapitel "Der Körper mit 49 Elementen" des Wikipidia-Artikels "Endlicher Körper" beschreibt kurz den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{49}=\mathbb F_7(i) \end{eqnarray}$ . Für mich ergibt es schon Sinn, dass $\begin{eqnarray} i^2=-1=6 \end{eqnarray}$ ist. Aber irgendwie bringe ich das nicht mit der Aufgabenstellung zusammen. Oder willst du mir eigentlich sagen, dass ich nach Nullstellen wie $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ o.ä. suchen soll, weil diese mittels den Körperoperationen $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ wieder eine ganze Zahl ergeben (so wie $\begin{eqnarray} i^2=-1=6 \end{eqnarray}$ )?
22.12.2019, 22:17	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. du arbeitest in einem endlichen Körper, nicht in den komplexen Zahlen. Damacht sowas wie , als Nullstelles des Polynoms X²+1 Sinn, aber sowas wie e oder $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ oder weniger, da diese a priori durch Grenzwertprozesse entstehen. Und das steht auf einem endlichen Körper erstmal nicht zur Verfügung. Endlicher Körper sind viel einfacher und übersichtlicher als die überabzählbaren komplexen zahlen.
22.12.2019, 23:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp : Dividiere $\begin{eqnarray} (x^3-2) : (x-\alpha)=x^2 +... \end{eqnarray}$ mit der adjungierten Nullstelle $\begin{eqnarray} \alpha, \alpha^3 =2 \end{eqnarray}$ und setze die 343 Elemente in das quadratische Polynom ein. Hat es eine Nullstelle, dann zerfällt es über $\begin{eqnarray} F_{343} \end{eqnarray}$ , sonst adjungiere eine Nullstelle des quadratischen Polynoms. In beiden Fällen bist du fertig.
23.12.2019, 10:33	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch. Das quadratische Polynom ist $\begin{eqnarray} x^2+\alpha x+\alpha^2 \end{eqnarray}$ . Aber verstehe ich es richtig, dass ich jetzt keine explizite Nullstelle suchen, sondern jede Linearkombination $\begin{eqnarray} k+l\alpha +m\alpha^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetzen soll, bis $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ herauskommt? Für $\begin{eqnarray} x=2\alpha \end{eqnarray}$ käme heraus $\begin{eqnarray} 7\alpha^2\equiv 0 \bmod 7 \end{eqnarray}$ .
23.12.2019, 10:57	Rostgürtel	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay die dritte Nullstelle ist dann $\begin{eqnarray} 4\alpha \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_7(\alpha) \end{eqnarray}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ . Also letztenendes ist der Grad des Zerfällungskörpers gleich 3?
23.12.2019, 16:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima, damit zerfällt das über F7 irreduzible Polynom mit 3 verschiedenen Nullstellen in F7^3=F7(alpha). Um die Aufgabe richtig interessant zu machen musst du nur noch die Zerfaellungskoerper für x^3-2 über Fp für alle Primzahlen berechnen. (Ich weiß im Moment auch nicht, wie das geht, aber es geht bestimmt...)

Neue Frage »

Antworten »

Grad der Körpererweiterung

Verwandte Themen