K bestimmen für gleichen Flächeninhalt

21.12.2019, 21:25

Hoodoo

K bestimmen für gleichen Flächeninhalt

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabenstellung:

Bei der Funktion f(x)=(x^2)-k soll das k so bestimmt werden, dass im Intervall [-3,3] der Flächeninhalt jeder der 3 Flächen zwischen Funktion und X-Achse gleich groß ist.

Die Nullstellen liegen ja bei -sqrt(k) und sqrt(k). Dh. gefragt wird hier nach einem k (mit k>0), sodass die Integrale von [-3,-sqrt(k)], [-sqrt(k),sqrt(k)] und [sqrt(k),3] alle den gleichen Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse aufweisen.

Ich habe schon ein paar verschiedene Ansätze durchprobiert, komme aber bei keinem wirklich weiter. Kann mit der Aufgabe jemand etwas anfangen, bzw. mir einen Lösungsansatz vorschlagen?

Vielen Dank im Voraus

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
NS:
sqrt(k) und -sqrt(k)

Bedingung:
Integral [-3,-sqrt(k)] muss gleich dem Integral von [-sqrt(k),sqrt(k)] sein.

21.12.2019, 21:34

Elvis

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Soll die Fläche über und unter der x - Achse gleich sein, so muss das Integral gleich 0 werden. Damit 3 Flächen gleich sind, muss das Integral über 2 von ihnen 0 werden.

22.12.2019, 10:34

Hodoo

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Naja durch die Funktion entstehen im Intervall [-3,3] 3 verschiedene Flächen, wie oben beschrieben. Diese sollen bei einem zu bestimmenden k alle den gleichen Flächeninhalt haben.

Mit meinem Ansatz komme ich so zur Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{-\sqrt{k} } \! x^{2}-k \, dx + \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k} } \! x^{2}-k \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

An dieser Gleichung scheitere ich allerdings jedes mal und komme zu keinem Ergebnis.

22.12.2019, 12:03

Elvis

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Du kannst in eine Stammfunktion die Grenzen einsetzen, dabei sollte etwas sinnvolles entstehen. Weil die Gleichung zeigt, dass dieses Integral 0 ist, wäre es besser, nur einen der beiden Summanden zu berechnen. UND dieser ist gleich dem Integral von -3 bis 3.

22.12.2019, 12:38

Hodoo

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So hab ich das noch gar nicht gesehen, also könnte man auch nach diesem Ansatz hier vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{\sqrt{k} } \! x^{2}-k \, dx = \int_{-3}^{3 } \! x^{2}-k \, dx \end{eqnarray*}$

Ich werd das ganze mal so versuchen

22.12.2019, 12:55

Hodoo

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Sieht soweit schonmal gut aus, allerdings hänge ich nun an der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^{3} }+4,5k-13,5 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich denke man kann hier irgendwie eine Funktion 3. Grades draus machen, ich komm aber nicht drauf wie ich das jetzt weiter rechnen kann.

22.12.2019, 13:17

Hodoo

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Laut Taschenrechner bekomme ich für k jetzt 2,25 raus, was auch tatsächlich die Lösung der Aufgabe zu sein scheint. Also schonmal vielen Dank soweit, jetzt muss ich nur noch raus finden wie ich diese Gleichung per Hand gelöst bekomme.

22.12.2019, 14:16

Huggy

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Zitat:

Original von Hodoo0

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^{3} }+4,5k-13,5 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich denke man kann hier irgendwie eine Funktion 3. Grades draus machen, ich komm aber nicht drauf wie ich das jetzt weiter rechnen kann.

Das ist schon mal richtig. Eine Polynomgleichung 3. Grades bekommt man, wenn man $\begin{eqnarray*} y=\sqrt k \end{eqnarray*}$ setzt. Man erhält:

$\begin{eqnarray*} y^3+ \frac 9 2 y^2- \frac {27} 2=0 \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung von Polynomgleichungen 3. Grades gehört nicht zum Schulstoff. Man darf daher vermuten, dass mindestens eine ihrer Lösungen eine rationale Zahl ist. Diese findet man durch Raten und Rechnen.

Die Nutzung eines GTR ist heute in der Schule üblich. Damit kann man sich das Polynom plotten lassen, eine Nullstelle näherungsweise ablesen und durch Einsetzen verifizieren, dass es tatsächlich eine exakte Lösung der Gleichung ist.

Etwas aufwändiger ist die Bestimmung einer rationalen Lösung mit dem Lemma von Gauß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%B...ale_Nullstellen

Man erhält eine endliche Zahl potentieller rationaler Lösungen. Durch Einsetzen verifiziert man, ob darunter tatsächlich Lösungen sind.

22.12.2019, 14:21

Hodoo

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Wow ich hab jetzt 2 Tage an dieser Aufgabe gesessen, jetzt hab ichs endlich raus. Ich habe die Gleichung umgeschrieben, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{k^{3} } = k^{1,5} \end{eqnarray*}$ habe ich dann Substituiert mit $\begin{eqnarray*} k = x^{2} \end{eqnarray*}$ wodurch ich eine Gleichung dritten Grades bekomme.

Die Nullstelle 1,5 habe ich durch ausprobieren gefunden, mittels Polynomdivision bin ich dann zu der doppelten Nullstelle -3 gekommen, welche entfällt.

und da $\begin{eqnarray*} k = 1,5^{2} = 2,25 \end{eqnarray*}$ macht das ganze jetzt endlich Sinn

Vielen Dank !

22.12.2019, 14:23

Antezedenz

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Wenn du den Wurzelterm auf einer Seite isolierst

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^3}=13,5-4,5k \end{eqnarray*}$

und dann noch auf der anderen Seite 4,5 ausklammerst, dann kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{k^3}=4,5(3-k) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du quadrieren und hast gleich eine schöne Form für die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k^3=20,25(k-3)^2 \end{eqnarray*}$ .

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