Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? |
| 22.12.2019, 16:11 | existierender Name | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? Das ist keine konkrete Frage zur Mathematik, aber wie können wir der Aussagenlogik vertrauen? Ich kam zu dieser Frage, als ich mich fragte, warum wir Axiome als wahr annehmen und dann *aussagenlogisch* andere Wahrheiten ableiten. Immerhin kommt die Mathematik aus der Realität. Der Satz des Pythagoras ist real, damit die Wurzel aus 2, es gibt Brüche, also Teilstücke, ganze Stücke, die natürlichen Zahlen und Schulden die negativen Zahlen. Warum können wir dann einfach irgendwas als wahr annehmen? Aber was ist mit Integralen z.B.? Die Fläche zwischen Kurve und Abzissenachse in der kartesischen Ebene. Die Wahl Funktionen in der kartesischen Ebene darzustellen scheint so willkürlich, ähnlich wie Winkel gegen den Uhrzeigersinn zu zählen, aber passt doch so perfekt, als eben jene Fläche. Man könnte theoretisch auch andere Darstellungsformen nehmen. Ich Kenne zwar keine, aber meine mal davon gehört zu haben. Nun basiert all dies auf der Aussagenlogik. Wenn ein Satz einmal aussagenlogisch bewiesen wurde, stimmt er. Wie können wir uns da so sicher sein? Meine Ideen: Man könnte Mathematik oder sonst irgendwas, ohne darüber nachzudenken schaffen, aber es stört mich, die innerste Natur der Basis unseres heutigen Lebens nicht zu verstehen. |
||||||
| 22.12.2019, 16:39 | G221219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? Axiome sind plausibel und haben sich bewährt. Solange keine Widersprüche auftreten, kann man gut mit ihnen arbeiten und widerspruchsfreie logische Systeme darauf errichten. Sie sind ein solides Fundament, solange keine Risse auftreten. Von irgendetwas muss man ausgehen können. Es gibt keine Häuser ohne Erdgeschoss. Vertrauen ist immer im Spiel. Dass morgen die Sonne aufgehen wird, ist letztlich Vertrauenssache. Beweisen kann man es nicht. Fliegt plötzlich ein schwarzes Loch vorbei, dann wars das mit ihr.
Will du sein wie Gott? Warum gibt es etwas und nicht nichts? 
|
||||||
| 22.12.2019, 16:57 | existierender Name | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? Deine Antwort war äußerst unbefriedigend. Wir stützen unser ganzes Leben auf etwas willkürliches? Ich bin mir doch sehr sicher, dass mehr dahintersteckt als "ist halt so". Und außerdem frage ich mich, warum es andere einfach hinnehmen. Will der keiner wissen, warum das funktioniert, was wir benutzen, um das komplexeste, das es gibt, die Natur, zu beschreiben? Solange wir nicht wissen, wie die Mathematik funktioniert, wissen wir gar nichts. Immer weiß ich, dass ich nichts weiß (Sokrates lässt grüßen). Das klang vllt. etwas aggressiv, aber ich mir dir für deine Antwort keinen Vorwurf. Dieses Thema verfolgt mich halt... |
||||||
| 22.12.2019, 17:10 | G221219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? Mit der Mathematik kann man die Natur doch wunderbar beschreiben und sogar Aussagen machen, die völlig unanschaulich sind. Alles bist zum Letzten zu hinterfragen ist interessant und legitim, führt aber an Grenzen. Als Menschen sind wir begrenzte Wesen. In der Praxis zählt, dass etwas funktioniert, wie genau muss man nicht immer wissen, solange es funktioniert. |
||||||
| 22.12.2019, 17:31 | existierender Name | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen? Es mag funktionieren. Bis jetzt. Ich finde, dass wir das, worauf wir unser Leben stützen, ganz genau kennen sollten. Tatsächlich finde ich es auch schade, dass sich keine anderen an der Diskussion beteiligen, weil ich gerne so viel wissen sollen würde, wie es möglich ist. |
||||||
| 22.12.2019, 17:35 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Viele Philosophen, Logiker und Mathematiker haben die Fragen gestellt. Ebenso viele Antworten wurden gegeben. Studiere Cantor, Frege, Dedekind, Peano, Russell, Hilbert, Gödel und weitere Logiker des 20.Jahrhunderts. Vielleicht verstehst du eines Tages etwas, vielleicht auch nicht. Ich befasse mich erst seit 50 Jahren mit den Themen, da bin ich natürlich noch weit weg von endgültigen Antworten, falls es welche gibt. Wir vertrauen auf nichts, weder auf eine Realität noch Wissenschaft, weder auf Mathematik noch Logik, weder auf Philosophie noch Religion. Einige Denksysteme scheinen plausibel, andere sind ziemlich sicher falsch. Aussagenlogik und Prädikatenlogik gehören als Denksysteme zu den möglichen Grundlagen von Mathematik und Naturwissenschaft. Bisher hat es aber noch niemand geschafft, Mathematik vollständig auf Logik zu begründen. Das nennt sich Logizismus (Frege, Russell,...), und wer diesen mühevollen Weg geht, kommt über kleine Teile der Mathematik nicht hinaus, und selbst diese Anfänge sind umstritten. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 22.12.2019, 18:31 | existierender Name | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast recht. Ich habe mir gerade "Code-Knacker", ein Film auf YouTube über die Riemannsche Vermutung und die Primzahlen und deren Verbindungen mit Energiefluktuationen im Atomkern, angeschaut. Letztlich ist Mathematik nichts als ein sehr effektives Werkzeug zur Beschreibung der Natur. Vllt. reicht es bis zur letzten Frage im Universum, vllt. gibt es irgendwann den Geist auf. Wer weiß? Ich hab mit 13-14 angefangen mich dafür zu interessieren und bis jetzt 1,5 Jahre später nicht wirklich viel dazugelernt. Der Weg in die Mathematik ist ein schwerer und nur die klügsten Köpfe werden an den Grenzen der Erkenntnis nicht dem Wahnsinn verfallen. Wer weiß, wann ich aufgebe. Ein Hoch auf die Mathematik, die Menschheit und dass wir Hilbert 2900 sagen können: "Wir haben es geschafft, Herr Hilbert, die Riemannsche Hypothese ist gelöst!" Wir müssen wissen! Wir werden wissen! |
||||||
| 22.12.2019, 18:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mathematik hat mit Natur absolut nichts zu tun. Natur ist ein Begriff der Naturwissenschaft, Mathematik ist ein Begriff der Geisteswissenschaft. Mathematik ist unendlich und befasst sich mit dem, was MathematikerInnen denken, nur sehr selten wird Mathematik benutzt um naturwissenschaftliche Theorien zu unterstützen. Mathematik ist kein Problem für Mathematiker. Logik schon eher. Man muss verrückt sein um sich mit Logik zu beschäftigen. Wenn man nicht verrückt ist und sich mit Logik beschäftigt, dann wird man verrückt.
Jungen Menschen würde ich eher empfehlen, sich mit Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre" eine solide Grundlage für einen Einstieg in die Mathematik zu schaffen. |
||||||
| 23.12.2019, 07:25 | G231219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was meinst du mit "unendlich"? Was denkt ein Mathematiker denn so? Hat alles, was sie denken, einen "Sinn"? Was ist der letzte Sinn der Mathematik? Geistige Selbstbefriedigung?
Wird sie nicht ständig für solche Theorien benutzt? Warum kann Logik verrückt machen? Hast du ein Beipiel? |
||||||
| 23.12.2019, 10:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unendlich hat Georg Cantor bestens erklärt, lies Oliver Deiser. Sinn des Lebens ist Leben, Sinn des Seins ist Sein, Sinn der Mathematik ist Mathematik. Mathematik wird immer benutzt um Mathematik zu machen, manchmal auch um andere Wissenschaften oder sonstwas zu machen. Ob die Anwendung von Mathematik zulässig ist und zu sinnvollen Ergebnissen führt, hängt nicht von der Mathematik ab. Jedenfalls wird Mathematik nur endlich oft angewendet, also selten. Total verrückte Logiker : Cantor, Frege, Russell, Gödel. Bei neueren Logikern bin ich nicht sicher, soweit habe ich noch nicht studiert. |
||||||
| 23.12.2019, 11:36 | G231219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke.
So definiert wohl nur ein Mathematiker SELTEN. Wo fängt SELTEN an, wo hört es auf? Ein Sorites-Problem? |
||||||
| 23.12.2019, 16:38 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Statt "selten" sagen wir auch gerne "fast nie", und das bedeutet "höchstens endlich oft". Ein wenig mehr als "fast nie" ist "abzählbar unendlich" und erst bei wesentlich höheren Unendlichkeiten spricht man von "gelegentlich" und mehr als das unvorstellbar große EPSILON0 nenne ich "oft". Der Sprachgebrauch ist dabei nicht einheitlich, wir können uns über Unendlichkeiten einigen aber nicht über Worte. |
||||||
| 23.12.2019, 18:12 | existierender Name | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woher willst du denn wissen, dass Mathematik nichts mit der Natur zu tun hat? Wie erklärst du dir, dass sich Phänomene in der Natur so präzise mit der Mathematik beschreiben lassen? Die Differenzial- und Integralrechnung wurde von Newton aufgrund des Momentangeschwindigkeitsproblems entwickelt (wobei ich hier Leibniz nicht unerwähnt lassen will)? So manche Pflanze wächst nach dem goldenen Schnitt. Geometrie ist auch in der Natur. Wobei natürlich fragwürdig ist, wo in der Natur die Aussagenlogik und die Mengenlehre zu finden sind. Zuletzt sind wir gar nicht in der Lage, uns bei der Mathematik ganz sicher zu sein (siehe Gödels Unvollständigkeitssatz). |
||||||
| 23.12.2019, 19:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mathematik ist eine Methodik des menschlichen Denkens. Was ist daran verwunderlich, dass eine Methodik des menschlichen Denkens gelegentlich mit menschlichem Denken über die Natur überein stimmt? Pflanzen wachsen nicht so wie sie wachsen, weil wir mathematische Formeln haben, mit denen wir über das Wachstum von Pflanzen reden können. Krümelchen von geometrischen Gedanken stimmen zufällig mit menschlichen Ansichten von Krümelchen der Natur überein. Das beweist, dass Menschen über Geometrie und die Natur nachdenken, ja und? Logik und Mengenlehre sind zur Zeit beliebte mathematische Theorien, weil wir damit große Teile der Mathematik aufbauen und weiter entwickeln können. Ich habe nicht die leiseste Ahnung, was das mit Natur zu tun hat, abgesehen davon, dass menschliches Denken ein Teil der Natur ist. Gödels Unvollständigkeitssaetze sind kein Grund, Zweifel an der Sicherheit der Mathematik zu haben. Ganz im Gegenteil geben sie uns die Möglichkeit, die Grenzen der Mathematik zu verstehen. Sie sind ebenso positiv zu sehen wie die Relativitätstheorie und die Unbestimmtheitsrelation, die uns die Grenzen der Physik verstehen lassen. |
||||||
| 23.12.2019, 19:39 | G2311219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fazinierend ist, dass die Evolution ein Gehirn hervorgebracht hat, dass Mathematik treiben kann - in einer vergleichweise kurzen Zeitspanne gemessen am Alter der Erde oder gar des Kosmos. Und das alles nach vielen Zufällen (Theia-Einschlag, Ausstreben der Dinos u.a.) Ob es sowas wirklich nochmal gibt im Universum? Man kann es sich kaum vorstellen trotz der Abermilliarden Galaxien mit Abermilliarden Sonnen und wohl auch vielen habitablen Zonen. |
||||||
| 23.12.2019, 21:17 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ist es. 
Der Homo mathematicus ist absolut einmalig. Vermutlich ist er der Zielgrund des Universums, ach was sage ich, der Zielgrund des Seins an sich. 
Wenn ich das wirklich glaube, habe ich dann schon zu viel Logik studiert? 
|
||||||
| 24.12.2019, 06:22 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bisherige Sonnensysteme haben meist Planeten mit kleinen Umlaufbahnen. Von der Temperatur her betrachtet liegen durchaus Planeten darin. Nur, diese engen Umlaufbahnen neigen dazu den Planeten zu synchronisieren. Kein schönes Klima! Neben dem streifenden Einschlag von Theia mitsamt seinen Folgen ( Mond, Erdachse) hat anscheinend ein naher Vorbeiflug einer Sonne die Gasriesen nach außen befördert wo sie seitdem als gravitative Wächter dienen. Manche nehmen die Drake Gleichung her um erkleckliche Mengen an erdähnlichen Planeten samt Zivilisationen zu postulieren. Bei 10 Trilliarden Sonnen verständlich, nur muss das Produkt mit p(Erde) nicht zwangsläufig auch groß sein.
|
||||||
| 24.12.2019, 06:23 | G241219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ob im Mathematiker der Kosmos zu sich kommt? Doch kann ihm der sagen, warum es ihn gibt und nicht nichts? Nach welcher Logik ist der Kosmos logisch? Am Anfang war das Wort. Im Griechischen steht da LOGOS.
Jemand hat LOGOS mal mit SINN übersetzt. Macht das Sinn? Oder wäre das unlogisch? Frohe "logische" Weihnachten! In ihm war das Leben, und das Leben war das Licht der Menschen. Über diesen Satz sollte man vlt. nachdenken in Zeiten, wo das Leben immer bedrohter ist. |
||||||
| 24.12.2019, 09:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hegel hat gesagt, dass der Weltgeist durch ihn (Hegel) zu sich komme, das ist mir etwas zu persönlich. Philosophisch zulässig ist für mich, dass der Weltgeist, wenn es ihn gibt, durch das philosophische Denken, den Homo philosophicus, zu sich kommt. Im Homo mathematicus kommt die Mathematik zu sich. Das ist nicht ganz so groessenwahnsinnig wie Hegels Theorie. Es gibt keine Mathematik ohne MathematikerInnen, und es gibt keine MathematikerInnen ohne Mathematik. Das ist logisch. Über die Existenz des Seins, über die Existenz des Multiversums, über die Existenz des Universums sagt die Mathematik genau nichts. Genau so wenig sagt die Mathematik etwas über die Innereien der Wirklichkeit, das bleibt der Philosophie und den Naturwissenschaften überlassen. Die Religionen wollen da auch gerne mitreden, mais je n'ai pas besoin de cette hypothese. In diesem Sinne wünsche ich euch frohe Weihnachten. Das Leben geht weiter, große Aussterbeereignisse gehören nun mal dazu, und jede Veränderung hat das Potenzial zur Verbesserung. Wenn der Mensch glaubt er müsse sich umbringen, kann man ihn nicht daran hindern. Die Ratten freut es, siehe Günter Grass. |
||||||
| 25.12.2019, 01:17 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Warum können wir der Aussagenlogik vertrauen?
Wir können es nicht mit Garantie, weil jede Logik - überhaupt alles und jedes - immer von irgendwas ausgeht und wenn dieses Irgendwas falsch wäre, dann wären wir verloren. Das nenne ich persönlich den Großen Unvollständigkeitssatz (gewissermaßen Gödel's Unvollständigkeitssätze verallgemeinert): es klappt einach nicht, ein (beliebiges) System bedingungslos (und damit 100% vertrauenswürdig) als wahr oder konsistent zu beweisen; dieser Satz ist also kein Beweis - dann wäre er wg. Selbstbezug auch widersprüchlich - sondern nur das Eingeständnis, dass es bis jetzt nie klappte und wir auch keine Ahnung haben, wie es je klappen könnte, weshalb wir weitehin hoffen können, dass uns irgendwann irgendwo irgendwie doch ein Licht aufgeht. Wir wissen also so wenig, nämlich nicht mal, dass wir nichts wissen, dass wir wenigstens hoffen können. In der Philosophie nennt man diese Position: Skepsis.
Sehe ich anders. Gödels Unvollständigkeitssätze beweisen uns sogar, dass unsere Mathematik falsch sein könnte, weil wir eben wiederum ihre Richtigkeit (Konsistenz) nie beweisen können (was voraussetzt, dass sie inkonsistent sein kann). Natürlich beweisen die Unvollständigkeitssätze ihre Konsequenz nur unter der Vorab-Annahme vieler Prämissen...wenn eine von denen falsch wäre, wäre auch der Beweis hinfällig und damit sind wir wieder bei o.g. erkenntnistheoretischen Thema. |
||||||
| 25.12.2019, 07:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aussagenlogik und manche anderen Logiken funktionieren sehr gut in dem Zusammenhang, in dem sie stehen. Gödels Unvollständigkeitssaetze sind bewiesen, also gibt es keinen Grund, daran zu zweifeln. Mathematik funktioniert, und wenn Probleme auftreten werden sie bearbeitet, liefern neue Erkenntnisse und werden oft gelöst. Grundsätzliche Zweifel sind erlaubt aber unbegründet und unnötig. Der philosophische "Zweifel an Prämissen" ist unmathematisch, er verkennt und verdreht den Sinn und Zweck der Mathematik. |
||||||
| 25.12.2019, 08:46 | G251219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zumindest im Bereich der angewandten Mathematik sieht man doch deutlich, dass sie nicht falsch sein kein. Kein Gerät würde funktionieren, wenn zugrunde liegende Berechnungen falsch wären. In der Naturwissenschaft und Technik scheint Logik perfekt zu funktionieren. Die angewandte Aussagenlogik funktioniert hervorragend. PS: Schlimm ist es, wenn die Logik zum Geschäftemachen missbraucht wird. Dann wird Logik schnell zur Scheinlogik, weil vieles nur scheinbar logisch ist, was bei genauerer Betrachtung oft nur Halbwahrheit oder geschickte Manipulation oder gefährlicher Unsinn ist. Das gilt für viele "Dogmen", schön klingende Leerformeln, ewige Wahrheiten etc. Wenn Gott streng logisch gehamdelt hätte, hätte er die Welt wohl nicht erschaffen. Um die selbst eingebrockte Suppe ein wenig auszulöffeln, soll er Mensch geworden sein, behaupten gewisse Kreise. Menschwerdung ist ein weites Feld. Als Mensch geboren zu werden ist nicht schwer, ein wahrer Mensch zu werden umso mehr. Der Einzige, der es bisher geschafft haben soll, hat heute Geburtstag und endete am Kreuz. Wahre Menschlichkeit kann (grausam) tödlich sein, v.a. weil geschäftsschädigend, mit unangenehmen Konsequenzen (Verzicht z.B.) und nicht lukrativ. Frohe Weihnachten und ein gutes Neues Jahr allen! Auf weitere spannende Diskussionen über Mathematik und darüberhinaus. 
|
||||||
| 25.12.2019, 09:35 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich stimme dir auf ganzer Linie zu.
Logik funktioniert in reiner und angewandter Mathematik, in reiner Mathematik notwendig, weil sie so konstruiert wird, dass sie funktioniert, in angewandter Mathematik, weil die Verbindung zwischen Mathematik und Anwendung durch mathematische Modelle vermittelt wird. Der Zusammenhang zwischen Mathematik und Naturwissenschaft ist so ähnlich, wenn man geeignete Modelle hat, stellen diese sicher, dass man Logik und Mathematik in der Wissenschaft erfolgreich benutzen kann. Planetenbahn als Kreis, weil Aristoteles diesen für geometrisch perfekt hält, ist das falsche Modell. Ellipse funktioniert besser und hat eine Verbindung zu Newtons Gravitationskraft. Noch wesentlich besser ist Einsteins Relativitätstheorie, in der die Kraft wegfallen kann und die Planetenbahn durch die Riemannsche Geometrie der Raumzeit erklärt wird. An der Natur oder an der Mathematik ändert das nicht das Geringste, welche Modelle benutzt werden, aber die Naturwissenschaft wird durch bessere Modelle besser. Mit der sogenannten Wirtschaftswissenschaft will ich auch nichts zu tun haben, weil sie vom Ansatz her und in ihrer Wirkung zutiefst inhuman und unethisch ist. Claus Peter Ortlieb, Prof. em. Hamburg hat viel wichtiges über die unzulässige mathematische Modellierung insbesondere in der sogenannten Wirtschaftswissenschaft veröffentlicht. |
||||||
| 25.12.2019, 10:22 | G251219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Markt kennt keine Moral, sondern nur den Profit. Der heiligt oft inhumanste Mittel. Gesetze haben nur begrenzte Wirkung, weil ihre Einhaltung nicht effizient kontrolliert werden kann, weil zu kostspielig. Ausbeutung und unmenschliche Arbeitsbedingungen sind längst nicht Vergangenheit. Wieviele Produkte dürfte man nicht kaufen, wenn man wüsste, unter welchen Bedingungen sie hergestellt werden und welche Konsequenzen sie für die Umwelt haben. In Sachen Wirtschaftsethik leben wir weiter in der Steinzeit. Es muss erst noch heißer und dreckiger werden auf dem Planeten, bis sich vlt. etwas ändert. Und dann ist es vlt. schon zu spät. Oder ist es nicht defacto schon zu spät? 
|
||||||
| 25.12.2019, 10:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist zu spät, denn das CO2 bleibt in der Atmosphäre, und wir pumpen jedes Jahr noch mehr hinein als im Jahr davor. Auf wissenschaft.de gibt es eine aktuelle Ringvorlesung zum Klimawandel. |
||||||
| 25.12.2019, 11:27 | G251219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dazu tendiere ich auch. Ganz zu schweigen von der Umweltzerstörung, der Verseuchung der Meere, der weiter stark wachsenden Erdbevölkerung, die noch mehr Unrat produzieren wird. Wir werden wohl im Dreck und der Hitze ersticken. Auch die beste Technologie wird dem Wahnsinn nicht mehr Herr, die Masse Mensch ist schlicht zu groß und nicht willig zurückzustecken. Da kann auch Herr Schäuble predigen, was er will. Das System braucht Konsum und Verschwendung zu seinem Erhalt. Consumo, ergo sum ist weiterhin du Devise, kurz: Nach mir die Sintflut. |
||||||
| 25.12.2019, 12:11 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Umgang der Gesellschaft mit der globalen Erwärmung passt recht gut in das Kübler-Ross-Modell. Diesem Modell zufolge verläuft die psychosoziale Veränderung in fünf Phasen: 1. Denial: Es gibt keinen menschengemachten Klimawandel. Und wenn es ihn gibt, haben wir gegenüber dem Rest der Welt höchstens verschwindend geringen Einfluss. 2. Anger: Mir geht diese Greta Thunberg auf den Keks. Ich bin auf mein Auto angewiesen. Die steigenden Benzinpreise werden uns nur in den Ruin treiben. 3. Bargaining: Mit dem Verbot von Trinkhalmen und dem Klimaschutzgesetz haben wir doch schon viel erreicht. 4. Depression and Grief: Es ist bald zu spät. Sogar die Emissionen steigen immer weiter. 5. Acceptance: Wir müssen mit diesen Problemen leben, unser Verhalten ändern und unser Bestes geben. |
||||||
| 25.12.2019, 12:41 | G251219 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
6.Hope: Hoffen, dass Apophis doch einschlägt 2029, weil sich die Astronomen verrechnet haben. Dann sind wir alle Probleme auf einen (Ein)Schlag los und der Planet hat Zeit sich unsere Nachfolger auszudenken oder auch nicht. Vlt. ist er verwüstet ohne uns glücklicher und harrt seinem Aufgehen im roten Riesen Sonne entspannter entgegen.
|
||||||
| 25.12.2019, 16:21 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@existierender Name Alles klar mit Logik, Mathematik und Naturwissenschaft? Oder können wir noch etwas mehr für dich tun? Du bist so still geworden... |
||||||
| 28.12.2019, 04:32 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Problematisch an der Peano-Arithmetik mag das Induktionsschema erscheinen. Doch das Induktionsschema lässt sich unter der Annahme gewisser algorithmischer Prinzipien (und der Konsistenz der elementaren Arithmetik) herleiten. Dies liefert einen Beweis für die Konsistenz von PA unter der Annahme "einsichtigerer" Prinzipien. Siehe hierfür z.B. David Roberts' prägnanter Blogartikel: Believing in (in-)consistency. Ein Überblick: Gentzen hat gezeigt, dass PA konsistent ist, (genau dann) wenn die Menge aller endlichen Bäume (genauer: das Ordinal ) wohlfundiert ist. Dieser Beweis wurde im schwächeren System der primitiv rekursiven Arithmetik, PRA, geführt. PRA kann wiederum seine eigene Konsistenz nicht beweisen. Aber im System (=PA ohne Induktion) kann gezeigt werden, dass PRA konsistent ist, wenn die Menge wohlgeordnet ist. Dies fällt in der Tat nicht schwer zu glauben (Wohlfundiertheit von selbst vorausgesetzt). Also folgt die Konsistenz der Peano-Arithmetik unter folgenden Annahmen:
Punkt 3. wiederum kann als Terminierungsaussage für ein bestimmtes Programm interpretiert werden, siehe David Roberts und Timothy Chow. Punkt 1. besagt die Konsistenz elementarer Arithmetik. Punkt 2. und 3. sind ordnungstheoretische Aussagen, die sich algorithmisch verstehen lassen. Glaubt man diesen drei Prinzipien simultan, kann man die Konsistenz von PA beweisen. |
||||||
| 28.12.2019, 07:43 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht nur diese drei Prinzipien muss man glauben, auch der ganzen Logik muss man vertrauen und das ist nicht ohne, denn alle Korrektheitsbeweise für Kalküle sind letztlich zirkulär, in dem die Korrektheit der Kalküle durch ebendiese (nur als Metakalküle umbenannt) bewiesen werden bzw. in der AL kann man Kalküle auch rein semantisch als korrekt beweisen, doch auch da kommt man nicht umhin, zB den MP mit dem MP (als Metasprache getarnt) zu beweisen. Wenn da was schiefläuft, zB der MP "eigentlich" eine ungültige Schlussregel ist, für die wir nur zu blind sind, dann war's das. Insofern lerne ich immer mehr, dass Mathematik sich nicht qualitativ von anderen Naturwissenschaften unterscheidet, auch math. Theoreme sind letztlich "nur" gut bewährte Hypothesen, die uns halt sicherer erscheinen...und nach Gödel erst recht. |
||||||
| 28.12.2019, 08:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dieser Pippen - Beitrag ist wie immer dummes Zeug. |
||||||
| 29.12.2019, 00:29 | Pippen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn daran 'dumm'? |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
