Verständnisfrage - Dimension

24.12.2019, 13:27	Dimensionsxo	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage - Dimension Meine Frage: Hallo, folgende Aussage [attach]50253[/attach] Meine Ideen: Ich versuche die Formel nachzuvollziehen , aber ich kann es mir nicht erklären. Wenn wir uns mal für den Fall k=3 beschränken , also Polynome mit maximalem Grad 3 aus dem R^2. Nach der Formel würde die Dimension 10 sein. Ich dachte die Elemente könnte man darstellen als : $\begin{eqnarray} x^3 ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} ) + x^2 ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} ) + x ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} ) + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ was für mich der Dimension 8 entsprechen würde ? Eventuell habe ich einen Denkfehler und würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann. Grüße
24.12.2019, 13:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Basis ist $\begin{eqnarray} \{1,x,y,x^2, y^2, xy, x^3, y^3, xy^2, x^2 y\} \end{eqnarray}$ , also Dimension 10.
25.12.2019, 12:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeine Formel für die Dimension kann man mindestens zwei Arten bestimmen. 1. Für $\begin{eqnarray} 0\leq m \leq k \end{eqnarray}$ gibt es $\begin{eqnarray} n+m-1 \choose m \end{eqnarray}$ Monome vom Grad $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ (Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge). Die Werte für alle m aufsummieren, fertig. 2. Deutlich eleganter finde ich folgenden Weg: Setze $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ . Dann kann man $\begin{eqnarray} u\in \mathbb P _k ^n \end{eqnarray}$ als ein homogenes Polynom vom Grad k in den n+1 Variablen $\begin{eqnarray} x_0,x_1,\ldots ,x_n \end{eqnarray}$ auffassen. Es gibt $\begin{eqnarray} {n+1+k-1 \choose k} = {n+k \choose k}={n+k \choose n} \end{eqnarray}$ entsprechende Monome.

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