Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen

26.12.2019, 12:47

Hoodoo

Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem mit der Aufgabe 10 (siehe Anhang). Ich weiß nicht, wie man hier am besten vorgehen soll. Im Grunde genommen müsste ich ja die Fläche unter dem Graphen im Intervall [0,5] um die Y-Achse rotieren, was dann 1000 (cm³) ergeben sollte.
Hat hier jemand eine Idee für einen sinnvollen Ansatz?

Meine Ideen:
Ich hab versucht das Rotationsvolumen um die Y-Achse des Graphen zu definieren, um so auf ein sinnvolles f(x) zu kommen, allerdings bin ich hier nirgends zu Ergebnissen gekommen.

26.12.2019, 13:03

Elvis

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f(x) =x^2 +1 ist eine Parabel. Integration gibt Fläche, Rotation ergibt bekanntes Volumen. Es ist dann h=1 eine Einheit und das Integral von -1 bis +1 zu betrachten.

26.12.2019, 14:09

Dopap

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RE: Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen

Zitat:

Original von Hoodoo
Meine Frage:
[...] Im Grunde genommen müsste ich ja die Fläche unter dem Graphen im Intervall [0,5] um die Y-Achse rotieren, was dann 1000 (cm³) ergeben sollte.
Hat hier jemand eine Idee für einen sinnvollen Ansatz?

Kann man machen, Fläche mal Weg des Flächenschwerpunktes. Nur braucht man dann den Flächenschwerpunkt...

Ich würde es mal mit "dünnen" Hohlzylindern der jeweiligen Höhe $\begin{eqnarray*} h=ax^2+5 \end{eqnarray*}$ versuchen.

Aus $\begin{eqnarray*} V(a)=1000 \end{eqnarray*}$ lässt sich dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmen.

26.12.2019, 15:08

klauss

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RE: Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen
Beachte die Aufgabe, nach der man entscheiden/begründen soll, ob sich die Parabelgleichung unter den Gegebenheiten bestimmen läßt (ohne sie zunächst final zu berechnen).
Das Volumen zwischen Boden und Scheitelpunkt der Parabel ist bekannt, somit auch das auf 1 l fehlende Restvolumen, das nun durch die rotierende dunkle Fläche unter einer Parabel der Form $\begin{eqnarray*} y=ax^{2} \end{eqnarray*}$ erzielt werden muß.
Damit ist aber auch das Rotationsvolumen der oberhalb der Parabel liegenden grünen Fläche bekannt, denn das summiert sich mit der rotierenden dunklen Fläche zum Volumen eines Zylinders mit bekanntem Grundkreisradius und von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ abhängiger Höhe.
Stelle also das Integral für das grüne Rotationsvolumen auf; wenn man daraus die einzige Unbekannte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ berechnen kann, ist die Frage beantwortet.

26.12.2019, 15:09

Hodoo

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RE: Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen
Also quasi:

$\begin{eqnarray*} 1000 =2*\pi \int_{0}^{5} \! x*(ax^{2}+5) \, dx \end{eqnarray*}$

...abgeleitet aus der Formel für die Mantelfäche eines Zylinders:

$\begin{eqnarray*} 2\pi * r*h \end{eqnarray*}$

mit eben h als f(x), wie du geschrieben hast

27.12.2019, 08:09

Dopap

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RE: Funktion zu gegebenem Rotationsvolumen

Zitat:

Original von Hodoo
Also quasi:

$\begin{eqnarray*} 1000 =2*\pi \int_{0}^{5} \! x*(ax^{2}+5) \, dx \end{eqnarray*}$

ja, oder

$\begin{eqnarray*} 1000=\frac {\pi(625a+250)}{2} \end{eqnarray*}$

und jetzt kannst du sagen: ja, diese lineare Gleichung kann ich exakt lösen.
Du kannst aber auch ganz vorsichtig vorher Überlegungen anstellen ( siehe oben ) ob das
Ganze überhaupt lösbar ist.
Im Prinzip das Integral in 2 Summanden aufspalten

$\begin{eqnarray*} V(a) =\overbrace{2\pi \int_{0}^{5} \! ax^{3} \dd x}^{\text{variabler Teil, kann den benötigten Rest liefern }} \quad +\quad\underbrace{2\pi \int_{0}^{5}5x \dd x}_{\text{fixer Zylinder=}125\pi} \end{eqnarray*}$

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