Komplexe Ungleichung lösen

27.12.2019, 06:33

A.Mot

Komplexe Ungleichung lösen

Hallo allerseits,

Löse die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2+2ix+3<0 \end{eqnarray*}$ wo $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ .Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

27.12.2019, 06:45

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Quadratische Ergänzung führt zum Ziel.

27.12.2019, 06:47

G271219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung
Faktorisiere die linke Seite mit der pq-Formel oder Satz von Vieta.

27.12.2019, 07:03

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
Quadratische Ergänzung führt zum Ziel.

Bittes schön, details....

Mit freundlichen,

A.Mot

27.12.2019, 07:07

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung

Zitat:

Original von G271219
Faktorisiere die linke Seite mit der pq-Formel oder Satz von Vieta.

Ich verstehe nicht!Bittes schön, details....

Mit freundlichen,

A.Mot

27.12.2019, 07:33

G271219

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung
$\begin{eqnarray*} (x-i)(x+3i)<0 \end{eqnarray*}$

27.12.2019, 07:52

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung

Zitat:

Original von G271219
$\begin{eqnarray*} (x-i)(x+3i)<0 \end{eqnarray*}$

Wie lösen wir die ungleichung $\begin{eqnarray*} (x-i)(x+3i)<0 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Mit freundlichen,

A.Mot

27.12.2019, 08:36

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du denn eine Ungleichung in den komplexen Zahlen lösen? Die sind ja nicht angeordnet, also ist eine Aussage $\begin{eqnarray*} a+bi<c+di \end{eqnarray*}$ nicht möglich.

27.12.2019, 08:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung
Aber zwischen reellen Zahlen wäre das machbar. Sofern x rein imaginär ist, also die Form x = b*i hat, gibt es durchaus sinnvolle Lösungen. Vielleicht gibt es für x auch noch weitere Möglichkeiten.

27.12.2019, 10:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schon einigermaßen merkwürdig, daß da ohne weiteren Kommentar eine Ungleichung zwischen komplexen Zahlen steht. Zumindest hätte es einen Begleittext geben müssen, etwa so:

Untersuchen Sie, für welche $\begin{align*} z \in \mathbb{C} \end{align*}$ die linke Seite der Ungleichung $\begin{align*} z^2 + 2 \operatorname{i}z + 3 < 0 \end{align*}$ eine reelle Zahl darstellt, und bestimmen Sie aus der Menge dieser $\begin{align*} z \end{align*}$ die Lösungen.

Setzt man kanonisch $\begin{align*} z = x + \operatorname{i}y \end{align*}$ ein, so erkennt man, daß der quadratische Term $\begin{align*} z^2 + 2 \operatorname{i}z + 3 \end{align*}$ dann und nur dann reell ist, wenn $\begin{align*} x(y+1) = 0 \end{align*}$ ist. Man hat also zwei Fälle zu untersuchen.

27.12.2019, 18:22

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eine Ungleichung
$\begin{eqnarray*} x^2+2ix+3=x^2+2ix+i^2-i^2+3=(x+i)^2+4<0 \end{eqnarray*}$

Wie bereits von anderen angemerkt ist diese Ungleichung nur sinnvoll, sofern (x+i)^2 eine reelle Zahl ergibt.

28.12.2019, 05:37

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo allerseits,

Einige sagen die Ungleichheit $\begin{eqnarray*} x^2+2ix+3<0 \end{eqnarray*}$ der Gleichung äquivalent ist $\begin{eqnarray*} x^2+2ix+3=m \end{eqnarray*}$ wo $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb R^{*-} \end{eqnarray*}$ und offensichtlich ist diese gleichung sehr leicht zu lösen.

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 07:00

early

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist das für ein komisches R? Was soll das " *-" bedeuten? verwirrt

28.12.2019, 07:42

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von early
Was ist das für ein komisches R? Was soll das " *-" bedeuten? verwirrt

Guten Morgen,

$\begin{eqnarray*} m<0 \end{eqnarray*}$ .

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 08:08

early

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

und offensichtlich ist diese gleichung sehr leicht zu lösen.

Ob man es so oder so schreibt, was soll der Unterschied sein? Was hat das mit der Lösung zu tun?

Zitat:

Einige sagen die Ungleichheit

Wer sind diese "einige"? Woher hast du diese Aussage?

28.12.2019, 09:29

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von early

Zitat:

und offensichtlich ist diese gleichung sehr leicht zu lösen.

Ob man es so oder so schreibt, was soll der Unterschied sein? Was hat das mit der Lösung zu tun?

Ich denke nur, dass Ungleichheit auf diese Weise gelöst werden kann.

Zitat:

Original von early

Zitat:

Einige sagen die Ungleichheit

Wer sind diese "einige"? Woher hast du diese Aussage?

Einige in einem anderen Forum ...

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 10:06

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wird hier eigentlich herumgeredet, statt die Ungleichung zu lösen?

Zunächst schreibe ich für die komplexe Variable $\begin{align*} z = x + \operatorname{i}y \end{align*}$ mit $\begin{align*} x,y \in \mathbb{R} \end{align*}$ , damit ich den Anschluß an das Übliche habe. Jetzt untersuche ich, wann der Term $\begin{align*} z^2 + 2 \operatorname{i}z + 3 \end{align*}$ reellwertig ist. Dazu rechne ich:

$\begin{align*} \left( x + \operatorname{i} y \right)^2 + 2 \operatorname{i} \left( x + \operatorname{i} y \right) + 3 = x^2 - y^2 + 2 \operatorname{i} xy + 2 \operatorname{i} x - 2y + 3 = x^2 - y^2 - 2y + 3 + 2 \operatorname{i} x(y+1) \end{align*}$

Und dieser Ausdruck ist reell dann und nur dann, wenn $\begin{align*} x(y+1) = 0 \end{align*}$ ist, wenn also $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} y=-1 \end{align*}$ ist. (Alternativ hätte man mit dem Ansatz von Helferlein fragen können, wann $\begin{align*} (z+i)^2 \end{align*}$ eine reelle Zahl ist. Dazu muß $\begin{align*} z + \operatorname{i} \end{align*}$ reell oder rein imaginär sein. Man kommt auf dieselben beiden Fälle.)

1. Fall: $\begin{align*} x=0 \end{align*}$

$\begin{align*} -y^2 - 2y + 3 < 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ - (y+1)^2 + 4 < 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (y+1)^2 > 4 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \ \ y+1 > 2 \ \ \text{oder} \ \ y+1 < -2 \ \ \Leftrightarrow \ \ y > 1 \ \ \text{oder} \ \ y < -3 \end{align*}$

2. Fall: $\begin{align*} y = -1 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 + 4 < 0 \end{align*}$

Diese Ungleichung ist für keine reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ erfüllbar.

Die Lösungen der Ungleichung $\begin{align*} z^2 + 2 \operatorname{i}z + 3 < 0 \end{align*}$ sind also alle rein imaginären $\begin{align*} z = \operatorname{i}y \end{align*}$ mit $\begin{align*} y<-3 \end{align*}$ oder $\begin{align*} y>1 \end{align*}$ .

30.12.2019, 17:40

A.Mot

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten abend,

Interessante Argumentation! Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Ungleichung lösen

Verwandte Themen