Von der Lösung der Dgl auf die Dgl kommen

27.12.2019, 16:14

Mimi123

Von der Lösung der Dgl auf die Dgl kommen

Meine Frage:
Hallo zusammen,
hab hier eine Aufgabe und konnte diese nur teilweise lösen.

Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} c_{k}\in \mathbb R, k=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ dann ist mit $\begin{eqnarray*} y(x)=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}+c_{3}x^{2}e^{2x} +c_{4}x^{3} e^{2x}-sin(x) \end{eqnarray*}$ eine allgemeine Lösung. Bestimmen Sie die Dgl.

Meine Ideen:
Die Eigenwerte der Dgl. sind $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}= \lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=2 \end{eqnarray*}$ damit erhalt man den homogenen Teil der Dgl. nämlich $\begin{eqnarray*} y(x)^{4}-16y(x)^{3}+24y(x)^{2}-32y(x)+16=0 \end{eqnarray*}$ . Ich habe versucht den Inhomogenen Teil der Dgl. zu lösen aber kam nicht auf den richtigen weg.
Kann mir bitte jemand ein Tipp geben?

27.12.2019, 17:28

IfindU

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RE: Von der Lösung der Dgl auf die Dgl kommen
Setze das gegebene $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in die Differentialgleichung ein. Dann bekommst du automatisch den inhomogenen Teil. Tipp: Du musst nur den "inhomogenen" Teil von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetzen, das spart etwas Rechnerei.

27.12.2019, 17:29

Leopold

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RE: Von der Lösung der Dgl auf die Dgl kommen

Zitat:

Original von Mimi123
damit erhalt man den homogenen Teil der Dgl. nämlich $\begin{eqnarray*} y(x)^{4}- \color{red}16 \color{black} y(x)^{3}+24y(x)^{2}-32y(x)+16=0 \end{eqnarray*}$

Statt Potenzen brauchst du natürlich die Ordnungen der Ableitung, also $\begin{align*} y^{(4)} - \color{green} 8 \color{black} y''' + \ldots = 0 \end{align*}$ .

Es sei $\begin{align*} u = u(x) \end{align*}$ eine Lösung der homogenen Gleichung, also

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ 16u - 32u' + 24u'' - 8u'''+ u^{(4)} = 0 \end{align*}$

Dann ist $\begin{align*} y = u - \sin(x) \end{align*}$ eine Lösung der inhomogenen Gleichung. Jetzt setze $\begin{align*} u = y + \sin(x) \end{align*}$ in $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ ein.

27.12.2019, 19:13

Mimi123

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Vielen Dank für die Antwort. smile

Also hab das jetzt mal gemacht und erhalte folgendes:
$\begin{eqnarray*} \left(u-sin(x)\right)^{4}-8\left(u-sin(x)\right)^{'''}+24\left(u-sin(x)\right)^{''}-32\left(u-sin(x)\right)^{'}+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =u^{4}-\left(sin(x)\right)^{4}-8u^{'''}+8\left(sin(x)\right)^{'''}+24u^{''}-24\left(sin(x)\right)^{''}-32u^{'} +32\left(sin(x)\right)^{'}+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =u^{4}-8u^{'''}+24u^{''}-32u^{'} +16-sin(x)-8cos(x)+24sin(x)+32cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =u^{4}-8u^{'''}+24u^{''}-32u^{'}+16-23sin(x)+24cos(x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das? verwirrt

28.12.2019, 00:20

Mimi123

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Das davor war falsch. Hab das raus. Hammer

$\begin{eqnarray*} \left(u+sin(x)\right)^{4}-8\left(u+sin(x)\right)^{'''}+24\left(u+sin(x)\right)^{''}-32\left(u+sin(x)\right)^{'}+16 \left(u+sin(x)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =u^{4}-8u^{'''}+24u^{''}-32u^{'} +16u-24cos(x)-7sin(x) \end{eqnarray*}$

28.12.2019, 09:38

Leopold

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Das Problem ist, daß du etwas rechnest, ohne es in einen Kontext einzubetten. Das ist so, als ob ich dich fragen würde: Ich habe 4-(3-7) gerechnet. Ist das richtig? Eine solche Frage kann man nicht sinnvoll beantworten.

Halten wir fest: Wir suchen eine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, von der die angegebenen $\begin{align*} y=y(x) \end{align*}$ Lösungen sind. Eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bezeichne ich mit $\begin{align*} u=u(x) \end{align*}$ . Gemäß Aufgabenstellung besteht der Zusammenhang: $\begin{align*} y = u - \sin(x) \end{align*}$ . Für die $\begin{align*} u \end{align*}$ hast du die homogene Differentialgleichung bereits herausgefunden:

$\begin{align*} 16u - 32u' + 24u'' - 8u''' + u^{(4)} = 0 \end{align*}$

Jetzt ist das ordentlich vorbereitet und man kann $\begin{align*} u = y + \sin(x) \end{align*}$ einsetzen. Man formt hier also keinen Term um, sondern eine Gleichung (rechts steht also immer "=0"):

$\begin{align*} 16 \left( y + \sin(x) \right) - 32 \left( y + \sin(x) \right)' + 24 \left( y + \sin(x) \right)'' - 8 \left( y + \sin(x) \right)''' + \left( y + \sin(x) \right)^{(4)} = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 16y + 16 \sin(x) - 32y' - 32 \cos(x) + 24y'' - 24 \sin(x) - 8y''' + 8 \cos(x) + y^{(4)} + \sin(x) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 16y - 32y' + 24y'' - 8y''' + y^{(4)} - 7 \sin(x) - 24 \ cos(x) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 16y - 32y' + 24y'' - 8y''' + y^{(4)} = 7 \sin(x) + 24 \ cos(x) \end{align*}$

Und das ist die gesuchte inhomogene Differentialgleichung, die von den $\begin{align*} y \end{align*}$ erfüllt wird.

Alternativ hätte man auch eine Termumformung durchführen können, also einfach einmal $\begin{align*} 16y - 32y' + 24y'' - 8y''' + y^{(4)} \end{align*}$ für speziell $\begin{align*} y = u - \sin(x) \end{align*}$ berechnen können ( $\begin{align*} u \end{align*}$ ist wie vorher eine Lösung der inhomogenen Gleichung). Dann sieht das so aus:

$\begin{align*} 16y - 32y' + 24y'' - 8y''' + y^{(4)} \end{align*}$

$\begin{align*} = 16 \left( u - \sin(x) \right) - 32 \left( u - \sin(x) \right)' + 24 \left( u - \sin(x) \right)'' - 8 \left( u - \sin(x) \right)''' + \left( u - \sin(x) \right)^{(4)} \end{align*}$

$\begin{align*} = 16u - 16 \sin(x) - 32u' + 32 \cos(x) + 24u'' + 24 \sin(x) - 8u''' - 8 \cos(x) + u^{(4)} - \sin(x) \end{align*}$

$\begin{align*} = \underbrace{16u - 32u' + 24u'' - 8u''' + u^{(4)}}_{=0} + 7 \sin(x) + 24 \cos(x) \end{align*}$

$\begin{align*} = 7 \sin(x) + 24 \cos(x) \end{align*}$

Nur - bei deinem Ansatz wird das Vorgehen überhaupt nicht klar. Was ist dein $\begin{align*} u \end{align*}$ ? Ist das auch eine Lösung der homogenen Gleichung? Was machst du da überhaupt? Formst du einen Term um oder eine Gleichung? Und was ist schließlich die Schlußfolgerung, also die gesuchte Differentialgleichung?

29.12.2019, 17:10

Mimi123

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Hast recht. Ich hab sehr unsauber geschrieben. Vielen Dank für deine Hilfe und der ausführlich Erklärung! Freude

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