Abgeschlossenheit eines Polarkegels beweisen

27.12.2019, 21:30	MathStudent2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit eines Polarkegels beweisen Ich will beweisen, dass ein Polarkegel abgeschlossen ist. Ein Kegel ist definiert als die Menge $\begin{eqnarray} K\subseteq\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \forall \lambda >0, \forall x\in K \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lambda \cdot x \in K \end{eqnarray}$ . Ein Polarkegel $\begin{eqnarray} K^\circ \end{eqnarray}$ ist definiert als $\begin{eqnarray} K^\circ := \{w \in \mathbb{R}^n\| w^T\cdot d \leq 0, \forall d \in K\} \end{eqnarray}$ . Nun soll bewiesen werden, dass $\begin{eqnarray} K^\circ \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. In der Musterlösung ist gegeben: Sei $\begin{eqnarray} w_i, i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ eine Folge in $\begin{eqnarray} K^\circ \end{eqnarray}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ , d.h. es gilt $\begin{eqnarray} w_i^T\leq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} \lim_{i \to \infty } w_i^T\cdot d = w^Td \leq 0 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} K^\circ \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Ich verstehe nicht wie man in diesem Satz bewiesen haben soll, dass für den Grenzwert $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} w^T\cdot d \leq 0 \end{eqnarray}$ . Wieso kann nicht passieren, dass für alle $\begin{eqnarray} i \in \mathbb{N}, w_i^Td\leq 0 \end{eqnarray}$ , aber für den Grenzwert $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ gilt, $\begin{eqnarray} w^Td>0 \end{eqnarray}$ ? Ich verstehe nicht, wie das in dem einsätzigen Satz garantiert wird.

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