Abgeschlossenheit eines Polarkegels beweisen

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Abgeschlossenheit eines Polarkegels beweisen
Ich will beweisen, dass ein Polarkegel abgeschlossen ist.
Ein Kegel ist definiert als die Menge , wobei gilt .
Ein Polarkegel ist definiert als .
Nun soll bewiesen werden, dass abgeschlossen ist.
In der Musterlösung ist gegeben:
Sei eine Folge in mit Grenzwert , d.h. es gilt für alle und auch . Also ist abgeschlossen.
Ich verstehe nicht wie man in diesem Satz bewiesen haben soll, dass für den Grenzwert gilt, dass . Wieso kann nicht passieren, dass für alle , aber für den Grenzwert gilt, ? Ich verstehe nicht, wie das in dem einsätzigen Satz garantiert wird.
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