Summenindex läuft rückwärts

Guten Morgen,

Wenn $\begin{eqnarray*} \int_x^0 x dx \end{eqnarray*}$ existiert , dann vielleicht dass und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k \end{eqnarray*}$ existiert.

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 06:23

A.Mot

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Zitat:

Original von Elvis
Das ist dasselbe wegen 1+2+3=3+2+1.

Guten Morgen,

Manche sagen das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1k \neq \sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ .

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 06:24

early

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RE: Ein Betrag
Dein Integral ist komisch. x als untere Grenze und Integrand?
Den Dann-Satz verstehe ich logisch nicht. verwirrt

28.12.2019, 06:35

A.Mot

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RE: Ein Betrag
Überflüssiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Ich habe einen Vergleich mit dem Integral gemacht $\begin{eqnarray*} \int_x^0 x dx =-\frac{x^2}{2}=-\int_0^x x dx \end{eqnarray*}$ ....und wie berechnen wir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 06:44

early

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RE: Ein Betrag
Warum nimmst du nicht die üblichen Schreibweisen? verwirrt

28.12.2019, 06:49

A.Mot

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RE: Ein Betrag
Überflüssiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Ich bin kein deutscher Sprecher und bitte sagen Sie mir, was falsch ist und nicht verstanden wird ... Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 07:02

early

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RE: Ein Betrag
Ich sage nicht, dass es falsch ist, nur ungewöhlich.
Bei Integralen verwendet man dieselbe Variable gewöhnlich nicht als Integrand und
Integrationsgrenze zugleich.

PS:
Was ist deine Muttersprache?

28.12.2019, 08:22

A.Mot

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RE: Ein Betrag
Überflüssiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Rumänische Sprache.

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 09:14

Leopold

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Eine allgemein gültige Interpretation bei einem rückwärts laufenden Summationsindex gibt es nicht. In vielen Fällen ist es sinnvoll, einer solchen Summe den Wert 0 zuzuweisen (Auffassung als Summe mit leerer Menge als Indexbereich). Es mag auch Fälle geben, wo eine Vorzeichenumkehr (ähnlich wie beim Integral) angemessen ist oder die Richtung keine Rolle spielt (Elvis' Vorschlag). Wenn man daher einen solchen Ausdruck verwendet, muß man im Begleittext festlegen, wie er gegebenenfalls aufzufassen ist.

28.12.2019, 14:49

A.Mot

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Hallo allerseits,

Manche sagen das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k = \frac{-n^2+n+2}{2} \end{eqnarray*}$ .Wie beweisen wir dieses Ergebnis?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

28.12.2019, 17:09

Elvis

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Das wissen wir nicht, weil wir nicht wissen, wie die Summe definiert ist.

29.12.2019, 06:43

A.Mot

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Zitat:

Original von Elvis
Das wissen wir nicht, weil wir nicht wissen, wie die Summe definiert ist.

Guten Morgen,

Es ist offensichtlich , dass sich die Summe auf die Funktion bezieht $\begin{eqnarray*} f(k)=k \end{eqnarray*}$ wo $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$ .Wenn zeichnen wir den Graphen der Funktion f (k) = k , dann können wir die Summe berechnen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k \end{eqnarray*}$ ?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

29.12.2019, 13:46

Elvis

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Nein, das können wir nicht. Wenn du es kannst, dann musst du es machen.
Wenn hier negative ganze Zahlen addiert werden und die 1 dazu, dann hast du einen Vorzeichenfehler, ausserdem fehlt ein Faktor 1/2. Das Ergebnis wäre dann -n(n+1)/2+1.
Trotzdem bleibt unklar, warum man das auf diese Weise als Summe schreiben kann.

29.12.2019, 17:10

Leopold

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Einmal ein Beispiel. Wir betrachten das Polynom $\begin{align*} p \end{align*}$ , definiert durch

$\begin{align*} p(n) = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1) \, , \ \ n \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Für dieses rechnet man leicht nach:

$\begin{align*} p(-n) = - p(n-1) \, , \ \ n \in \mathbb{Z} \end{align*}$

Bekanntermaßen gilt:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n k^2 = p(n) \, , \ \ n \geq 1 \end{align*}$

Warum eigentlich unten bei $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ aufhören? Man würde sich doch wünschen, daß diese Formel auch für $\begin{align*} n \leq 0 \end{align*}$ gilt. Setzen wir einmal frech $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ ein:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^0 k^2 = p(0) = 0 \end{align*}$

Und wenn man sich einmal getraut hat, Verbotenes zu tun, tut man es auch ein zweites Mal. Also $\begin{align*} n=-1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{-1} k^2 = p(-1) = 0 \end{align*}$

Jetzt verlieren wir jede Hemmung:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{-2} k^2 = p(-2) = -p(1) = -1 \end{align*}$

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{-3} k^2 = p(-3) = -p(2) = -5 \end{align*}$

Welche Interpretation der Summation aus meinem vorigen Beitrag paßt jetzt hier?

30.12.2019, 16:20

A.Mot

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Überflüssiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Guten abend,

Interessante Berechnungsmethode!Sehr gut!Abschließend können wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{-n} k^2 =\frac{-2n^3+3n^2-n}{6} \end{eqnarray*}$ ist?Vielen Dank!
1) Wie lautet die Berechnungsformel für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k \end{eqnarray*}$ ?
2) Wie lautet die Berechnungsformel für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k^2 \end{eqnarray*}$ ?

Mit freundlichen,

A.Mot

30.12.2019, 18:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Welche Interpretation der Summation aus meinem vorigen Beitrag paßt jetzt hier?

Man definiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b f(k) := 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a=b+1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b f(k) := -\sum_{k=b+1}^{a-1} f(k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\geq b+2 \end{eqnarray*}$ , dann gilt die von $\begin{eqnarray*} a\leq b< c \end{eqnarray*}$ gewohnte "Anschlussbedingung"

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^c f(k) = \sum_{k=a}^b f(k) + \sum_{k=b+1}^c f(k) \end{eqnarray*}$

sogar für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ !

Persönlich bevorzuge ich die andere Variante

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b f(k) := \sum_{k:\;a\leq k\leq b} f(k) \end{eqnarray*}$ ,

was dann $\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b f(k) =0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ bedeutet.

01.01.2020, 14:43

A.Mot

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Hallo allerseits,
Frohes neues Jahr!

Meine Argumentation:

[attach]50286[/attach]

Ist diese Argumentation richtig?Wenn es richtig ist, warum sagen dann manche das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^1 k = \frac{-n^2+n+2}{2} \end{eqnarray*}$ ?Vielen Dank!

Mit freundlichen,

A.Mot

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Summenindex läuft rückwärts

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