Reihendivergenz

28.12.2019, 14:53

Max11235811

Reihendivergenz

Meine Frage:
Wir haben eine reelle Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ , dessen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{eqnarray*}$ divergiert. Daraus folgt, dass die Reihe bestimmt gegen unendlich divergiert. Nun soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n} \end{eqnarray*}$ ebenfalls divergiert. Leider haben mich meine Ansätze nicht zum Ziel geführt... (zu dem Zeitpunkt hatten wir noch keine Reihenkonvergenzkriterien - also muss man es direkt über die Def von Konvergenz oder Cauchy-Folgen zeigen).

Meine Ideen:
Meine Idee war zu zeigen, dass die Reihe keine Cache-Folge ist: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0, \; \exists N,K \in \mathbb{N} (oE N>K): \sum_{n=K+1}^{N}\frac{a_n}{1+a_n}\geq epsilon \end{eqnarray*}$ Dummerweise kriege ich jetzt nicht hin das abzuschätzen. Meine erste Idee war einfach das Maximum des Nenners zu nehmen und dann zu sagen, dass die Partialsumme im Zähler beliebig groß werden kann. Aber der Nenner kann ja auch beliebig groß werden und es muss nicht mal ein Maximum geben. Es ist mir irgendwie klar, dass der Nenner der ganzen inneren Term nicht so viel kleiner macht, als das es nicht mehr divergiert.
Eine weitere Idee das abzuschätzen war mit: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=K+1}^{N}\frac{a_n}{1+a_n}\geq(N-K-1)\frac{a_{K+1}}{1+a_{N}} \end{eqnarray*}$ und dann zu sagen, dass N beliebig groß werden kann, aber auch dann kann der Nenner ja beliebig groß werden...
Irgendwie stehe ich da gerade auf dem Schlauch...
Danke für Eure Hilfe

28.12.2019, 15:10

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
Vielleicht kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac{1}{a_n}+1} \end{eqnarray*}$ kann nur konvergieren, wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=0 \end{eqnarray*}$ (damit der Nenner des Nenners gegen unendlich gehen kann und damit die innere Folge gegen Null, was notwenidige Bedienung für Konvergenz ist?

Aber das kann a_n ja ruhig- 1/x divergiert ja auch und ist größer Null!

28.12.2019, 16:11

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
Irgendjemand eine Idee? Also ne offensichtliche Minorante oder so können wir schon verwenden

28.12.2019, 16:24

IfindU

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RE: Reihendivergenz
Das ist ein guter erster Schritt. D.h. falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergiert, so divergiert die Reihe.

Falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, so gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 1 + a_n} \geq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

28.12.2019, 23:59

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
Sorry, aber ich glaube du hast die Frage garnicht verstanden...

29.12.2019, 00:31

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
Die letzte Abschätzung muss nicht mal stimmen, fällt mir gerade auf ...

29.12.2019, 00:39

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
ah ok ich habs gerollt. Du hattest doch recht. Hatte nen dummen Denkfehler. Vielen Dank

29.12.2019, 00:41

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
ne doch nicht die Reihe ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{1+a_n} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+a_n} \end{eqnarray*}$ !!!

29.12.2019, 10:33

IfindU

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RE: Reihendivergenz
Richtig. Ich habe dir auch nicht die "endgültige" Ungleichung gegeben. Einen Schritt musst du noch selbst machen Augenzwinkern

01.01.2020, 20:00

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
Wärst du so gütig mir diese zu verraten. Ich komme nicht drauf

01.01.2020, 21:05

IfindU

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RE: Reihendivergenz

Zitat:

Original von IfindU
Das ist ein guter erster Schritt. D.h. falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergiert, so divergiert die Reihe.

Falls $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, so gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ s.d. $\begin{eqnarray*} a_n \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 1 + a_n} \geq \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert man die letzte Ungleichung mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ erhält man sofort $\begin{eqnarray*} \frac {a_n} { 1 + a_n} \geq \frac {a_n} 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Damit hat man eine divergierende Minorante gefunden.

04.01.2020, 12:45

Max11235811

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RE: Reihendivergenz
vielen Dank!

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