Die Ableitung einer differenzierbaren UND stetigen Funktion ist wieder stetig.

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Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung einer differenzierbaren UND stetigen Funktion ist wieder stetig.
Den obigen Satz habe ich folgendergestalt zu beweisen versucht:

Eine Funktion ist stetig wenn gilt:
Es existiert eine konvergente Folge
mit



Eine Funktion


ist dann stetig wenn gilt:



Die Ableitung ist zudem definiert als:



Wir sagen:

f(x) sei eine stetige und differenzierbare Funktion.
Wir setzen dann


g(x) ist also die Ableitung der Funktion f(x) an beliebiger Stelle x.

Wenn g(x) stetig an jeder Stelle ist, existiert wie oben eine konvergente Folge
mit


mit beliebig,

also ist g(x) stetig wenn gilt:



und damit





Nach Voraussetzung ist ja aber f(x) stetig, wir können den limes daher in die "Funktionsanwendung" selbst hineinziehen:




Nach Voraussetzung konvergiert


gegen

und damit erfüllt es die Gleichung:



war beliebig gewählt => f(x) sowie f(x)' sind stetig.

Ist das legitim?

Liebe Grüße
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Aussage ist falsch, daher kann der Beweis auch nicht richtig sein. Übrigens sind differenzierbare Funktionen automatisch stetig, das braucht man also nicht extra zu fordern.

Dein Beweis ist nicht ganz verständlich geschrieben, aber mindestens beim Vertauschen des Limes nach h und des Limes nach n musst du aufpassen, das ist nicht ohne weiteres erlaubt.

Hier ist ein Gegenbeispiel:

mit für und .
Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das Gegenbeispiel ist doch aber nicht auf ganz IR stetig, oder?

In seinem Definitionsbereich (also IR\{0} für x^2*sin(1/x)) hingegen ja schon; die Ableitung -cos(1/x) + 2 x sin(1/x) wäre doch aber dann auch in jenem Definitionsbereich wiederum stetig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist nicht auf definiert, sondern auf ganz und dort ist sie auch stetig, ja sogar differenzierbar. Das lässt sich außerhalb von leicht mit der Kettenregel und bei direkt mit der Definition von Differenzierbarkeit nachweisen.
Irgendjemand Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

richtig, die Funktion die du gibst ist stetig und differenzierbar auf ganz IR, vorausgesetzt sie wird stückweise definiert - was du ja auch getan hast.

Wenn man diese Funktion, also

f(x) = {x != 0 : x^2*sin(1/x),
{x = 0 : 0

differenziert, so ergibt das doch eigentlich

f'(x) = {x != 0 : -cos(1/x) + 2 x sin(1/x),
{x = 0 : 0


... die ist doch aber wieder stetig?

EDIT: Ah, stimmt, nein, die ist nicht stetig, denn anders als lim x->0 (x^2*sin(1/x)) = 0, ist lim x->0 (-cos(1/x) + 2 x sin(1/x)) offensichtlich nicht definiert.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau richtig analysiert.
 
 
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