Euklidischer Algorithmus fuer Polynome funktioniert?

29.12.2019, 15:32

Merkaber

Euklidischer Algorithmus fuer Polynome funktioniert?

Hallo Mathehelfer,

um den Definitionsbereich folgender rationaler Funktion zu bestimmen, muss ich erst einmal die durch den ggT teilen. Um den ggT herauszufinden, möchte ich den Euklidischen Algorithmus verwenden. Dies habe ich getan... jedoch gibt dieser mir nicht den ggT zurück. Wieso? Was mache ich falsch?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x^3+x^2+x+6}{4x^2-9} \end{eqnarray*}$

Führender Koeffizient des Teilers muss aber 1 sein, deshalb kürzen...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{ \frac{2}{4}x^3+ \frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{4}x+ \frac{6}{4}}{x^2- \frac{9}{4}} \end{eqnarray*}$

Nun führe ich die Polynomdivision aus...

$\begin{eqnarray*} ( \frac{2}{4}x^3+ \frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{4}x+ \frac{6}{4}) : (x^2- \frac{9}{4})=\frac{2}{4}x+\frac{9}{4}+\frac{\frac{22}{16}x+\frac{33}{16}}{x^2-\frac{9}{4}} \end{eqnarray*}$

Der Rest wird jetzt zum Teiler $\begin{eqnarray*} r(x)=\frac{22}{16}x+\frac{33}{16} \end{eqnarray*}$
Nun wieder den führenden Koeffizienten vom Teiler auf 1 bringen und dann wieder Polynomdivision...

$\begin{eqnarray*} (x^2-\frac{9}{4}) : (x+\frac{6}{4})=x-\frac{6}{4} \end{eqnarray*}$

So, der Rest ist 0 und der ggT soll nun $\begin{eqnarray*} x+\frac{6}{4} \end{eqnarray*}$ sein. Jedoch gibt es einen größeren gemeinsamen Teiler und das wäre $\begin{eqnarray*} 2x+3 \end{eqnarray*}$

Was habe ich falsch gemacht oder gibt es noch einen anderen Algorithmus?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x^3+x^2+x+6}{4x^2-9} = \frac{(2x^3-2x+4) \cdot (x+\frac{3}{2})}{(4x-6) \cdot (x+\frac{3}{2})} = \frac{(x^2-x+2) \cdot (2x+3)}{(2x-3) \cdot (2x+3)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank im Voraus!

29.12.2019, 20:35

Leopold

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Ich denke, das Ganze spielt sich über $\begin{align*} K[x] \end{align*}$ mit $\begin{align*} K = \mathbb{Q} \end{align*}$ oder $\begin{align*} K = \mathbb{R} \end{align*}$ ab. Der größte gemeinsame Teiler ist nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. Die Einheitenmenge ist aber $\begin{align*} K^{*} = K \setminus \{ 0 \} \end{align*}$ . Und wegen $\begin{align*} 2 \cdot \left( x + \frac{6}{4} \right) = 2x + 3 \end{align*}$ sind beide linearen Polynome größte gemeinsame Teiler.

Mußt du diese Aufgabe mit dem Euklidischen Algorithmus erledigen? Es hätte sich ja auch eine Faktorisierung des Nenners angeboten. Man kann dann schnell testen, ob eine Nullstelle des Nenners auch eines des Zähler ist, und kommt zu einer Zerlegung, wie sie ja auch dein letzter Term zeigt.

30.12.2019, 02:31

Merkaber

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Vielen Dank für deine Antwort Leopold.

Bei dieser Aufgabe sollte ich zuerst den Definitionsbereich bestimmen, danach alle Asymptoten und dann das Grenzverhalten an den Polstelle.

Was mich bei deiner Antwort allerdings wundert ist, dass der euklidische Algorithmus dann ja nur ein vielfaches eines Teiler zurückgibt. Somit kann ich mir ja nicht sicher sein, wenn ich z.B. in der Klausur sitze, ob ich nun den richtigen Teiler habe, um dann z.B. den Definitionsbereich finden zu können.

Wie genau würdest du eine mögliche Faktorisierung erkennen, ohne es einfach zu "sehen". Gibt es dort ein gutes Verfahren?

Zitat aus meinem Skript:

"Zur Bestimmung des Definitionsbereichs einer rationalen Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$ wird
vorausgesetzt, dass ggT(p(x), q(x)) = 1. Ist diese Voraussetzung noch nicht erfüllt, muss zuerst
eine gekürzte Darstellung erzeugt werden, indem man beide Polynome durch ihren größten
gemeinsamen Teiler teilt."

30.12.2019, 07:50

tatmas

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Hallo,

der euklidischer Algorithmus ist fürso eine Aufgabe ein sehr seltsames Werkzeug.
Auch sonst hast du ein paar Aussagen drin die zwischen seltsam und falsch liegen.

Zitat:

um den Definitionsbereich folgender rationaler Funktion zu bestimmen, muss ich erst einmal die durch den ggT teilen

Erstmal ist nicht klar von was für einem ggT die sprchst.
Und für den Definitionsbereich sind die Nullstellen des Nenners relevant, kein ggT.

Zitat:

Führender Koeffizient des Teilers muss aber 1 sein

Weshalb? Der euklidische Algorithmus oder Polynomdivision hat das nicht als Voraussetzung.

Wieso kürzt du deine Brüche nicht?
z.B. 2/4=1/2?

Zitat:

Was mich bei deiner Antwort allerdings wundert ist, dass der euklidische Algorithmus dann ja nur ein vielfaches eines Teiler zurückgibt.

Der ggT ist nicht eindeutig bestimmt. Bei einem Polynom über den reellen Zahlen wie hier, ist zu jedem ggT und jeder reeller Zahl $\begin{eqnarray*} r \neq 0 \end{eqnarray*}$ auch r*ggT ein ggT.

Zitat:

Somit kann ich mir ja nicht sicher sein, wenn ich z.B. in der Klausur sitze, ob ich nun den richtigen Teiler habe, um dann z.B. den Definitionsbereich finden zu können.

Der konkrete Teiler ist für deinen Definitionsbereich (man müsste hier eigentlich von maximalem Definitionsbereich sprechen; man kann den Definitionsbereich immer kleiner wählen) nicht relevant.
Die Nullstellen des Nenners sind es. Und die ändern sich nicht durch Multiplikation mit Konstanten.

Zitat:

Wie genau würdest du eine mögliche Faktorisierung erkennen, ohne es einfach zu "sehen". Gibt es dort ein gutes Verfahren?

Dritte binomische Formel.
Oder hier auch jede aus der Schulzeit bekannte Formel zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen zweiten Grades.

31.12.2019, 13:04

Merkaber

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Hallo tatmas,

Zitat:

Erstmal ist nicht klar von was für einem ggT die sprchst.

Ich spreche von $\begin{eqnarray*} ggT(p(x), q(x)) \end{eqnarray*}$ von einer rationalen Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass die Nullstellen des Nenners entscheidend sind, jedoch kann ich nicht einfach von $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ die Nullstellen finden, da z.B. mit der p-q-Formel zwei Nullstellen gefunden werden, was aber nicht stimmt.

Somit muss ich als erstes mit dem ggT kürzen, um dann die "richtigen" Nullstellen zu finden.

Zitat:

Der ggT ist nicht eindeutig bestimmt. Bei einem Polynom über den reellen Zahlen wie hier, ist zu jedem ggT und jeder reeller Zahl $\begin{eqnarray*} r \neq 0 \end{eqnarray*}$ auch r*ggT ein ggT.

Das wusste ich nicht... da verwirrt ggT mächtig. "Größter" bedeutet für mich, dass es das größte ist^^.

Zitat:

Weshalb? Der euklidische Algorithmus oder Polynomdivision hat das nicht als Voraussetzung.

Zitat aus meinem Skript:

"Voraussetzung: p(x) und q(x) sind zwei Polynome deren führende Koeffizienten 1 sind und
$\begin{eqnarray*} Grad(p(x)) \geq Grad(q(x)) \end{eqnarray*}$ ."

procedure ggT(p(x), q(x)):
__ s(x)=p(x)
__ t(x)=q(x)
__ while (t(x) != 0)
____ r(x) = Rest von s(x) / t(x)
____ s(x) = t(x)
____ t(x) = r(x)
____ a = führender Koeffizient von t(x)
____ if (a != 0 und a != 1) then t(x) = t(x) / a
__ return s(x)

Das ist der Algorithmus aus meinem Skript.

Zitat:

Und die ändern sich nicht durch Multiplikation mit Konstanten.

Das mag sein, aber anscheinend macht es ab Grad 2 schon einen Unterschied, ob man erst kürzt oder nicht.
Bei meinem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2x^3+x^2+x+6}{4x^2-9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q(x)=4x^2-9 \end{eqnarray*}$
Mit p-q-Formel: $\begin{eqnarray*} x_1 = + \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$
Gekürzt: $\begin{eqnarray*} x_2 = - \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$ somit muss ja $\begin{eqnarray*} x_1 = + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ falsch sein?

Vielen Dank für deine Antwort

31.12.2019, 13:19

tatmas

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Zitat:

Ich weiß, dass die Nullstellen des Nenners entscheidend sind, jedoch kann ich nicht einfach von q(x) die Nullstellen finden, da z.B. mit der p-q-Formel zwei Nullstellen gefunden werden, was aber nicht stimmt.

Sorry, aber dann machst du es falsch.
Finde die Nullstellen. Wenn die auch Nullstellen des Zählers sind, dann kürze, sonst nicht.
Das ist genau das selbe wie ggT kürzen, nur einfacher.

Zitat:

Das wusste ich nicht... da verwirrt ggT mächtig. "Größter" bedeutet für mich, dass es das größte ist^^.

ist er auch. Die Relation für "größter"ist aber |, nicht <.

Zitat:

Das ist der Algorithmus aus meinem Skript.

Das ist nicht der euklidische Algorithmus. Da kommt keine Division vor.
Der Schritt hier:

Zitat:

r(x) = Rest von s(x) / t(x)

ist extrem vage .Der entscheidende Trick beim eukl. Alg. ist es gerade diesen Rest zu bestimmen.

Zitat:

Das mag sein, aber anscheinend macht es ab Grad 2 schon einen Unterschied, ob man erst kürzt oder nicht.

Ich verstehe nicht worauf du mit dem darunter raus willst. Die zwei Nullstellen sind richtig bestimmt und an denen ist nichts falsch.

Wieso bist du der Meinung, dass dein $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ falsch ist?

02.01.2020, 11:00

Ulrich Ruhnau

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Warum benutzt Ihr nicht einfach $\begin{eqnarray*} 4x^2-9=(2x-3)(2x+3) \end{eqnarray*}$ ? Ich würde das Polynom erst einmal durch das eine teilen und dann durch das andere. .

Wie der Plot nahe legt, würde ich das Polynom zuerst durch (2x+3) teilen.

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